Komplekse tal

Af de to ligninger

(z + e^i3π/4)·(z - e^i3π/4) = 0  ∨ (z + e^iπ/4)·(z - e^iπ/4) = 0

aflæser man de fire rødder ved at benytte nulreglen:

z = - e^i3π/4 ∨ z = e^i3π/4 ∨ z = -e^iπ/4 ∨ z = e^iπ/4

Jeg antog, at det var oplagt, hvorledes dette skulle gøres.

Hvordan omskriver han z4 + 1 = 0 til z2 + i = 0 eller z2 - i = 0?

og hvordan får han i = eiπ/2 = (±eiπ/4)2? 

Jeg ved, at det er et komplekst polynomium, hvilket vil sige P(z)=(Z-Zo)(Q(z))

Opgaven vil gerne have mig til at bestemme samtlige rødder i retangulær form dvs. P(z)=a+ib og Zo 

I den forrige opgave var det en 3.gradspolynomium, hvor jeg skulle lave en polynomium division for at finde Q(z), så er det ikke bare omvendt for at finde samtlige rødder?

Rettere sagt, skal jeg faktorisere Q(z) med (Z-Zo)? og i så fald hvordan gør jeg det for at finde rødderne?

#2

Se evt. den anden tråd https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1239238#1240552

Man skal løse ligningen

z⁴ + 1 = 0 , dvs

(z²)² - i² = 0 ,

hvorfor man faktoriserer ved at benytte en kvadratsætning

(z² - i)·(z² + i) = 0

Man benytter, at i = e^iπ/2 = (e^iπ/4)² , og at -i = (i·e^iπ/4)² = (e^i3π/4)² , hvorfor man får faktoriseringen som nævnt ovenfor.

Man benytter elementære regneregler for eksponentialfunktioner undervejs.

Når man kender rødderne på polær form er det ligetil at omregne til rektangulær form

z = r·e^iθ = r · (cos(θ) + i·sin(θ))

Ok, tak det gav mig et bedre overblik, men det er lige en ting som jeg er i tivl om.

Hvordan kan i = eiπ/2? -i = (i·eiπ/4)2? Skal jeg evt. prøve at indtegne i en enhedscirkel?

kender ikke nogle regneregler der fortæller, at i = eiπ/2

komplekse talplan (med enhedscirkel og Re/Im-aksen)*

#4

Vi har, at

i = 0 + 1·i = cos(π/2) + i·sin(π/2) = e^iπ/2 .

Det bør være klart, hvis tegner ind på enhedscirklen.

Tilsvarende er -1 = e^iπ .

Når på den måde :D fedt mand.

i=0+i*1=cos(π/2) + i·sin(π/2) = eiπ/2 tilsvarende  i^2=-1=e^iπ

Så  i  fungerer som z bare uden realdelen (i det tilfælde z^2)?

z=x+iy=a+ib

e^z=e^x+iy=e^x+iv=e^x(cos(y) + i·sin(y)=e^x(cos(v) + i·sin(v)

Tak - tror jeg har forstået det en del bedre nu, har slet ikke tænkt på, at man kan bruge i på den måde...