Matematik
Polynomiers division af 3.gradspolynomium (7.gradsligning)
Hej jeg har fået til opgave at bestemme samtlige rødder for
P(z) = (z^6-z^5+z^4-z^3)(z-1) ved at bruge nulreglen er den ene løsning z=1
Jeg får et vink om at bruge resultatet fra forrige opgave, hvor jeg skulle bestemme en andengradspolynomium Q til
P(x)=x^3-x^2+x-1 og at x0=1 er rod. Jeg fik resultatet Q(x)=x^2+1 af P(x)=(x-1)*Q(x)
Jeg kan sige at Q(x)=Q(z), x=z også løse z og finde de to løsninger:
z^6-z^5+z^4-z^3=z^2+1
Men jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal løse det i hånden?
Svar #1
25. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
I polynomiet
p(z) = (z6 - z5 + z4 -z3 )·(z - 1)
ser man, at man kan sætte z3 udenfor parentes, så
p(z) = z3 · (z3 - z2 + z -1) · (z -1) .
Ser vi nu på polynomiet
q(z) = z3 - z2 + z -1 ,
ser man at summen af polynomiets koefficienter er lig med 0 . Det er en generel regel, at hvis summen af koefficienterne i et polynomium er lig med 0, er z = 1 en rod i polynomiet. Derfor har vi, at
q(z) = (z2 + az + b)(z - 1)
Ganger man ud, får man dette sæt af ligninger:
a-1 = -1
b - a = 1
-b = -1
så a = 0 og b = 1, hvorfor
q(z) = (z2 +1)(z - 1) , og dermed
p(z) = z3·(z-1)2·(z - i)·(z +i)
Svar #2
25. september 2012 af phao92 (Slettet)
Okay, jeg forstod ikke det stykke:
"q(z) = (z2 + az + b)(z - 1)
Ganger man ud, får man dette sæt af ligninger:
a-1 = -1
b - a = 1
-b = -1
så a = 0 og b = 1, hvorfor
q(z) = (z2 +1)(z - 1) , og dermed
p(z) = z3·(z-1)2·(z - i)·(z +i)"
hvor får du "q(z) = (z2 + az + b)(z - 1) fra? og når du ganger den ud, indsætter du så z=1?
Jeg forstår, at du har sat løsningerne ind i q(z) = (z2 +1)(z - 1), og rødderne til q(z) er -1/2 og 1.
og jeg forstår ikke p(z) = z3·(z-1)2·(z - i)·(z +i)" .er det fordi P(z)=(z-z0)(Q(z)? at den ene rod er z=√(1/2)*i?
Svar #3
25. september 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Da (z-1) er faktor i q(z), findes der et 2.-gradspolynomium , der ganget med (z-1) er lig med q(z). Det er let at se, at dets koefficient til z2 må være 1, så derfor har det formen z2 + az + b. Ganger man (z2 + az + b) med (z-1) får man q(z), og de må stemme overens i koefficienterne.
(z2 + az + b)(z-1) = z3 + (a-1)z2 + (b-a)z -b ,
og det er også lig med q(z) = z3 - z2 + z -1 , hvoraf man så aflæser, at
a-1 = -1 , b-a = 1, og -b = -1
da de to polynomier jo stemmer overens for alle z.
Løser man ligningerne får man
q(z) = (z2 + 1)(z - 1) = (z2 - (-1))(z - 1) = (z2 - i2)(z - 1) = (z - i)(z + i)(z - 1)
Alternativt kan man jo se, at
q(z) = z3 - z2 + z -1 = z2(z - 1) + (z - 1) = (z2 + 1)(z - 1)
Svar #4
26. september 2012 af phao92 (Slettet)
Ok, det giver mening, men inden jeg spørger om mere kunne jeg godt tænke mig at vide hvad begrebet hedder, når man sætter tal ud for en parantes, så jeg kan søge videoer og blive bedre til det.
I mange tilfælde virker det som om, at det er vigtigt, at man kan sætter tal ud for en parantes, når man skal finde rødder i en ligning, eller til 3.gradspolynomier.
Skriv et svar til: Polynomiers division af 3.gradspolynomium (7.gradsligning)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.