Matematik
Entydig løsning (homogent ligningssystem)
For hvilke tal t har det homogene ligningssystem med koefficientmatrix
A = 1 1 1
1 2t 1
1 1 t
en entydig løsning? Find den fuldstændige løsning til systemet for alle værdier af t.
Her er hvad jeg har gjort: Jeg har udregnet determinanten af matricen som giver en andengradsligning. Denne har jeg løst og fået følgende t-værdier: t = 0,5 og t = 1.
Dvs. for t = 0,5 og t = 1 giver lAl = 0. For at ligningssystemet har en entydig (dvs kun én) løsning, skal lAl ≠ 0?
Jeg vil sætte stor pris på en forklaring og ikke bare et svar, da jeg har oprigtigt svært ved at forstå opgaven.
(Jeg ved godt opgaven har været fremme før, men forstår den stadig ikke)
På forhånd mange tak!
Svar #1
25. september 2012 af peter lind
En grundig forklaring får du bedst ved at gennemgå determinanter og ligningsløsning. Der må jeg henvise dig til litteraturen. I den pågældende opgave: Hvis du sætter t=½ vil første og anden række være identisk, så du har i realiteten kun 2 forskellige ligninger, og det er ikke nok til at finde entydige løsninger med 3 ubekendte. Hvis du sætter t=1 vil den første og sidste række være identiske og du vil så igen i realiteten kun have 2 ligninger.
Svar #2
25. september 2012 af samskeyti (Slettet)
Mange tak for svaret :-)
Mit problem er, at fremgangsmåden ikke fremgår klart i min bog og jeg har svært ved at gennemskue den, da jeg har svært ved at forstå emnet.
Men så vidt jeg har forstået:
Ligningssystemet har netop én løsning, når det(A) ≠ 0. Dvs. når t ≠ 0,5 og t ≠ 1.
Så derfor er det ikke muligt at angive en værdi af t for hvilken ligningssystemet er entydigt, da mulighederne er uendelige? (så længe t ikke er 0,5 eller 1). Er jeg på rette spor?
Svar #3
25. september 2012 af peter lind
De sidste 2 linjer er ikke rigtig. Du mener det muligvis rigtigt; men siger det forkert.Bortset fra t=½ og t=1 vil der være en entydig løsning til ligningerne. Hvis t=½ eller t = 1 kan der være uendelig mange løsninger eller det kan ikke være nogen. Hvilken af de 2 muligheder er afhængig af højre siderne. Hvis man tager ovennævnte ligningssystem med t = 1 vil de første 2 ligninger være
x+y+z = b1
x+y+z = b2
Hvis b1≠b2 kan de 2 ligninger ikke samtidig være opfyldt, så der er ingen løsninger. Hvis b1=b2 vil der være uendelig mange
Svar #4
25. september 2012 af samskeyti (Slettet)
Tusind tak for den gode forklaring! Det var lige hvad jeg havde brug for. Og ja, jeg blev faktisk bekræftet i min "teori" -- Så mange tak for rettelsen af min formulering :-)
Skriv et svar til: Entydig løsning (homogent ligningssystem)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.