Matematikprøve

Man indsætter funktionen i differentialligningen. Hvis de to sider af ligningen er identiske, er funktionen en løsning i differentialligningen, ellers ikke.

Jeg prøver lige.. digter et eksempel: 

f(x) = x^3+2x^2+x 

dy/dx + 3y = x^2+2

y=f(x) 

f'(x) = 3x^2 + 4x + 1 

da dy/dx = f'(x) må dy/dx = 3x^2 + 4x + 1

der har vi så: 

(3x^2 + 4x + 1) + 3f(x) = x^2 + 2 

3x^2 + 4x + 1= x^2 + 2 -3(x^3+2x^2+x) 

Nu er det bare opdigtet, så selvfølgelig er f(x) ikke løsningen til dy/dx. 

men er fremgangsmåden korrekt? 

#2

Ja, det er korrekt fremgangsmåde.

Her skal man undersøge, om funktionen y = f(x) = x³ + 2x² +x er en løsning i differentialligningen

dy/dx + 3y = x² + 2 .

Man udregner så

dy/dx + 3y = 3x² + 4x + 1 + 3x³ + 6x² +3x = 3x³ + 9x² + 7x +1

Da dette ikke er lig med funktionen x² + 2 på højre side i differentialligningen, er denne funktion f(x) ikke en løsning i differentialligningen.

I forlængelse af ovenstående kan vi tage et eksempel.

Eks: Vis at f(x) = x·ln(x) er løsning til differentialligningen

                                                                                  y' = (y/x)+1

Vi starter med at finde y' = f '(x)

f '(x) = (x·ln(x)) ' <=> f '(x) = x·(1/x)+1·ln(x) <=> f '(x) = 1 + ln(x)

Vi indsætter i differentialligningen og får

1+ln(x) = ((x·ln(x))/x)+1 <=> 1+ln(x) = ln(x)+1

Da de to sider af ligningen er identiske er f(x) en løsning til differentialligningen 

Okay tusind tak . 
Kan man komme ud for nogle af de samme slags opgaver, hvor man må bruge en anden fremgangsmåde end nævnt? 

#5

Når man skal undersøge, om en forelagt funktion er en løsning i en differentialligning, gøres det altid ved at indsætte funktionen i differentialligningen og så kontrollere, om ligningen er opfyldt. Det svarer til at gøre prøve. Det er langt lettere end at løse selve differentialligningen.

Ok tusind tak Torben og Niclas!