Vektorer

Længden af projektionen af en vektor a på en linie l bestemt ved vektoren b er

|a|cos(a,b)

hvor med cos(a,b) menes cosinus af vinklen mellem a og b. Denne kan findes af skalarproduktet mellem vektorerne, idet

a.b = |a||b|cos(a,b)

hvor med "a.b" menes skalarproduktet mellem vektor a og vektor b. Heraf

cos(a,b) = a.b/(|a||b|)

Nu kan du beregne længderne af projektionerne af de enkelte sider på de modstående sider.

Lad os nu sige at vektor a er vektor AB og vektor b er vektor CB. Vektor a's projektion på b er netop fodpunktet for højden, thi højden er jo den normal til retningen bestemt ved b, som tillige går gennem punktet A (prøv evt at tegne det).

Altså: beregn længden af projektionen som ovenfor. Betegn denne længde l. Fodpunktet ligger afstanden l fra C.

Dvs fra C skal du denne længde ud langs retningen CB for at komme til fodpunktet.

Den nemmeste måde at gøre det på er at bestemme en enhedsvektor i retningen CB. Det er jo vektor CB/|CB|. Da projektionsvektoren c har længden l og retningen CB/|CB| må dens koordinater være

c = l*CB/|CB|

Afsæt denne vektor i punktet C og du har koordinaterne for fodpunktet.

Gør det samme med de to andre sider.

Projektionen af AB på CB er

Sprogbrugen vakler lidt: det hedder 'projiceret', ikke 'projekteret'. Sidstnævnte er noget ganske andet ;-)

Indskudsreglen for vektorer i planen kommer til sin ret i denne opgave. Som altid: skitsér situationen.

Vi ser, at

[AB] = [AO]+[OB] = [OB]-[OA] = [11,-5]

Eftervis selv, at

[AC] = [4,-12] og [BC] = [-7,-7]

Lad os for overskueligheds skyld sætte c = [AB], a = [BC], b = [AC]. Projektionen af [BA] = -c på [BC] = a:

proj_a(-c) = [a*(-c)/|a|^2]a

Eftervis, at denne udregnes til

proj_a(-c) = [-3,-3]

Lad os med D betegne fodpunktet for højden fra A på BC; da er

proj_a(-c) = [BD]

Af indskudsreglen fås stedvektoren

[OD] = [OB] + [BD] = [7,-1]

Koordinatsættet til D er derfor (7,-1). På tilsvarende vis findes fodpunkterne for de andre højder i trekant ABC.

//Epsilon

Jo...jeg forstår det nogenlunde, men kan i ikke gennemgå en enkelt udregning, så jeg kan sammenligne teorien med praksis?

fx [AB] projiceret på [AC].

det vil gøre det lidt mere overskueligt for mig, hvorefter jeg så selv kan udregne de andre projektioner.

Hallo...jeg har virkelig brug for hjælp...har siddet i rigtig lang tid for at gennemskue den, men kan ikke finde ud af det.

Se venligst ovenstående.

Mange tak på forhånd.

#4: Jamen for fanden da ... Epsilon har da gennemgået det i detaljer i #2.