induktion

Vis først, at formlen gælder for n = 1. Antag så, at den gælder for et n, og vis så at den gælder for n+1 . Benyt produktreglen på produktet

xⁿ⁺¹ = xⁿ · x

Tak skal du have, men jeg er vant til at lave induktionsbeviser, hvor der kun er et bogstav og resten er tal. Det forvirrer mig, at der både er et x og et n i denne her opgave...

#2

Der foretages induktion efter n. Udsagnet er

p(n): (xⁿ)' = n·x^n-1 , n er et naturligt tal.

Induktionsbevis:
1) Vis p(1)
2) Vis p(n) ⇒ p(n+1) , n > 1 .

Jeg forstår ikke helt, hvad jeg skal..

Er det noget med, at f(x) = x^n

Så sætter jeg 1 ind på n´s plads:

f(x) = x^n = x^1 = x

Nu sætter jeg 1 ind på n´s plads i differentiationen(eller hvad man nu kalder det)

f'(x) = 1*x^(1-1) = 1

Kan dette passe?

#4

Man skal først vise, at differentiationsreglen er korrekt for n = 1, dvs, at p(1) er sand, dvs

(x)' = 1·x⁰ = 1 ,

hvilket er klart.

Dernæst antager man, at p(n) er sand og viser så, ved at benytte differentiationsreglen for et produkt,
at p(n+1) er sand.

Man antager, at p(n) er sand, dvs. at (xⁿ)' = n·x^n-1 , så at

p(n) ⇒ (xⁿ⁺¹)' = (xⁿ · x)' = (xⁿ)'·x + xⁿ·(x)' = n·x^n-1·x + xⁿ·1 = n·xⁿ + xⁿ = (n+1)·xⁿ ⇒ p(n+1)

Og er man så færdig?

Men jeg forstår ikke helt, at det der med differentiation skal gøres først. for den gælder vel altid? Lige meget hvilken differentation, vil man jo have (x)' ?

Vi ved at  x' =  1 og (x²)' = 2x¹

Heraf kan udledes: (x³)' = (x·x²)' = x·(x²)' + x'·x² = x·2x + 1·x² = 3x²

Antag at (xⁿ)' = nx^n-1

Herved fås (xⁿ⁺¹)' = (x·xⁿ)' = 1·xⁿ + x·(xⁿ)' = xⁿ + x·nx^n-1 = (n+1)xⁿ

Da reglen gælder for n = 3 må den altså også gælde for n = 4 osv. osv.

Tusind tak for, at du vil hjælpe mig her på dagen.

Ind til videre har jeg, at:

Basisskridt:

n = 1

(x^n)' = n*x^(n-1) <=> (x^1) = 1*x^(1-1) = 1*x^0 = 1*1 = 1

Og så går det galt, når jeg skal lave selve beviset:

n = p

(x^p)'=p*x^(p-1)

n = p + 1

Det er den måde, som jeg har lært at gøre det på. Vil du ikke være sød at forklare herfra?

Du antager at for n = p gælder reglen (x^p)' = p·x^p-1.

Så går du bare videre som i #7 idet du erstatter n med p.

videre fra hvor? (hvilket punkt)?

Videre fra:

Herved fås (xⁿ+1)' = (x·xⁿ)' = 1·xⁿ + x·(xⁿ)' = xⁿ + x·nx^n-1 = (n+1)xⁿ

Da reglen gælder for n = 3 må den altså også gælde for n = 4 osv. osv

Du erstatter alle n med p og får dermed at reglen gælder for alle p.

#10

Det hele er stillet op i #3 og vist i #5.