Udledning af inertimoment

Inertimoment defineres ved:

I = ∫ r² dm

Der skal stå:  (1/2m*(R^2-r^2))      ( minus )

Forståelse af udledningen kræver viden om integral-regning.

PS:  Nå, STX 3.år, men så kan du vel ?

Jeg mangler blot hints til hvad det er jeg skal gøre for at nå frem til det endelige udtryk?

Og det skal da ikke være minus? De to radiusser skal lægges sammen, mener jeg.

#2:   Hint:  I definitionen, skal du substituere:  dm =  Konstant* f(r) dr.

#3:  En massiv cylinder med radius R, har inertimomentet:  ½*m*R², men cylinderen er hul, og du skal derfor subtrahere inertimomentet af den indre cylinder, der jo ikke er der, altså:   -½*m*r²

Okay, mange tak. I henhold til hvad du siger (#4) Må de to radiusser trækkes fra hinanden i det endelige udtryk?

#5:  Ja,  ½*m*R² - ½*m*r²  =   ½*m*( R² - r² )

Her er en udledning af  Inertimoment af cylinderring

# 6 Nej, kvadraterne på radierne skal lægges sammen.

Lille radius, b, på billedet er blevet lidt for lang.

Den skal jo slutte ved inderste ring.

#7:  Forskelligheden består i, hvad m står for:

I  #4 er m = massen af den massive cylinder.

I linket #7 er m = massen af den udhulede cylinder.

Selv synes jeg  #7 metoden er mere omstændelig end at subtrahere inertimomenterne for to cylindre, men det er jo en smagssag.  :)

Cykelhjulet er et eksempel på, hvor man udnytter, at massen er samlet i en smal ring langt fra centrum, som gør inertimomentet stort. Cylinderringen har samme svinghjulseffekt, hvor  R² + r²  ,  (og ikke R² - r²) ,  bidrager godt til inertimomentet.

Jeg har selv fundet en udledning her:

http://www.miniphysics.com/2011/11/uy1-calculation-of-moment-of-inertia-of_27.html

Nu har jeg sammenholdt de to (sammenligned med den i #7), og de kommer jo frem til noget vidt forskelligt?

Den ene ender ud med at indre og ydre radius skal lægges sammen, mens den anden når frem til at den indre radius skal trækkes fra den ydre. Hvad er korrekt?

#10:  Ja, det har jeg forstået, men har du ikke læst #9 ?   At drejer sig om hvad m står for:

m = masse af massiv hhv. udhulet cylinder.

Så hvad er korrekt?

#13:  Se #9 og #12.

Det var godt nok en lang udledning, du har fundet i  #11.

Det ender jo med, at jeg må spidse blyanten og udlede en kortere udgave.   :)

# 13

Jeg vil ikke råde dig til hverken det ene eller det andet bud. Jeg er overbevist om, at nedenstående er korrekt. Lærte også i gymnasiet   R² + r²  som også står i en amerikansk "bibel" med matematiske og fysiske tabeller.

Man bør nok gå beregningerne nøje igennem på den side med det link, du nævner i # 11.

Hvor har du formlen fra, du nævner i # 0 ?

Inertimoment, Wikipedia:

En cylinder, enten massiv eller hul som et "rør", er monteret så den kan dreje omkring sin egen længdeakse. Hvis den ydre radius er R, og en eventuel cylindrisk hulhed har den indvendige radius r, er inertimomentet I givet ved:

Heraf følger, at hvis cylinderen er massiv (r = 0), bliver inertimomentet:
,
og for en hul cylinder med ubetydelig "vægtykkelse" (r ≈ R) fås:

#13:  Begge formler er korrekte

I = ½*M*( R² + r² ) ,  hvor M er massen af den udhulede cylinder

I = ½*m*( R² - r² ) ,   hvor m er massen af en massiv cylinder med samme ydre mål.

#14: En udledning ville i den grad modtages med kyshånd! :-)

# 17  Godt, så ta'r vi den:

En smal ring af bredden dx med en radius på x har arealet 2·π·x·dx

Indfører vi "massefylde" ρ som masse pr. arealenhed, er massen af ringen  2·π·ρ·x·dx

Afstanden²·masse = 2·π·ρ·x³·dx

Inertimomentet, I           I = _r∫^R 2·π·ρ·x³·dx = ^2·π·ρ/₄·[x⁴]_r ^R  = ^π·ρ/₂·(R⁴ - r⁴) = ^π·ρ/₂·(R² + r²)·(R² - r²)

og da cylinderringens masse, m = π·ρ·(R² - r²)  ses I at være

I = ¹/₂·m·(R² + r²) 

Mange tak! 

#18 Hvorfor er det at 4 ryger ned under 2πρ og brøken (2πρ/4) opstår?

∫ x³ dx = ¹/₄·x⁴        + c