dobbeltpunkt!!!

Hvad er parameterfremstillingen for din kurve?

                                       x(t)

  r(t)    (                                                                          )

                                       y(t)   

hvor x(t) =2*sin(t)+2 og y(t)=2*sin(t)*cos(t)+2

vil du ikke nok også vise hvordan du gør?

#2

For et dobbeltpunkt vil der gælde, at der for 2 forskellige parameterværdier t₁ og t₂ gælder

x(t₁) = x(t₂) og

y(t₁) = y(t₂)

I dette tilfælde er x(t) og y(t) periodiske med perioden 2π, så det er kun interessant at finde løsninger for forskellige t₁,t₂ i intervallet [0;2π[ . Man skal altså løse ligningssystemet

sin(t₁) = sin(t₂)

sin(t₂)·cos(t₁) = sin(t₂)·cos(t₂), med t₁,t₂ ∈ [0;2π[

Hvis sin(t₁) = sin(t₂) = 0, er ligningssystemet opfyldt, dvs for t₁ = 0, t₂ = π .

Hvis sin(t₁) = sin(t₂) ≠ 0 , er sin(t₁) = sin(t₂) opfyldt, hvis t₂ = π - t₁ , og der skal gælde cos(t₁) = cos(t₂) . Da cos(π - t₁) = -cos(t1), skal der altså gælde cos(t₁) = 0, dvs t₁ = π/2 og t₂ = π - π/2 = π/2 , dvs, intet dobbeltpunkt her.

Altså er der kun det ene dobbeltpunkt for t₁ = 0, t₂ = π , dvs (x,y) = (2,2) .

x(t) =2*sin(t)+2 og y(t)=2*sin(t)*cos(t)+2

figuren er symmetrisk

x(t) =2*sin(t)+2

finder x_max og x_min

x '(t)=2 cos(t)

2 cos(t)=0 for t=π/2 og t=3π/2

x_max=2sin(π/2)+2 =2*1+2= 4

x_min=2sin(3π/2)+2=2*(-1)+2=0

Dobbeltpunktet ligger midt mellem x_max og x_min

x-værdien for dobbeltpunktet bliver derfor (4+0)/2=2

x(t) =2*sin(t)+2=2 ⇒ sin(t) =0 ⇒t=0

y(t)=2*sin(t)*cos(t)+2 = 2*0*1+2=2

dobbeltpunkt (2,2)

Det var vist ikke det du fik.

Prøv at lave en afbildning af kurven i et regneark eller lignende

hvor får du phi halve og 3 phi halve fra? jeg har tegnet kurven men jeg kan slet ikke se hvor nogle af phi'erne kommer fra. når jeg aflæser på min kurve er maks på y-aksen 2.828 ?

cos(t)=0 for t=π/2 og t=3π/2

#5

Der er ingen der bruger φ (phi) i det ovenstående. Et dobbeltpunkt er et punkt, hvor grafen skærer sig selv.

#0:  Hvis du har interesse:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve