SS - Eksamen

Betragt en kontinuert fordeling på I ⊂ R  (hvor I selvfølgelig godt kan være hele R) med en sandsynlighedstæthed p. Lad F være den tilsvarende fordelingsfunktion. Antag at p opfylder at
1) p er kontinuert på I 

2) p(x) > 0 for alle x ∈ I

3 ) p ( x ) = 0 for x ∈/ I

Da F ′ ( x ) = p ( x ) > 0 for x ∈ I ser vi at F er strengt voksende på I . Der findes derfor en invers funktion q : (0, 1) → I . Den opfylder at for alle x og a.
F(q(α)) = α (α=alfa) for alle α ∈ (0,1), og at F(q(x))=x for alle x∈I.
Det er illustreret på figuren (se vedhæftet fil) hvordan man grafisk finder q(α): man lokaliserer
det x ∈ I der løser ligningen F(x) = α.

På dansk kaldes q en fraktil-funktion, og q(α) kaldes fordelingens α-fraktil. Som regel angiver man α i procent, og siger f.eks. at 95%-fraktilen er den x- værdi der løser F (x) = 0.95. Man bruger som regel bogstavet q til at betegne fraktiler, fordi begrebet på engelsk hedder quantiles. Senere på kurset vil vi støde på QQ-plots, et grafisk værktøj der er baseret på fraktil-funktioner.

Spørgsmål 2.1. Betragt ligefordelingen på [0, 1]. Gør rede for at den passer ind i ovenstående set-up, og angiv fordelingsfunktionen F(x). Løs ligningen F(x)=α for kendt α, og find dermed fraktilfunktionen q(α). Angiv eksplicit 5%-fraktilen, medianen og 95%-fraktilen.
Spørgsmål 2.2. Angiv fordelingsfunktionen for eksponentialfor-delingen med parameter λ = 1. Find fraktilfunktionen ved at løse ligningen F (x) = α. Angiv eksplicit 5%-fraktilen, medianen og 95%-fraktilen.
?
Spørgsmål 2.3. Angiv fordelingsfunktionen for eksponentialfordelingen med parameter λ = 2. Find fraktilfunktionen ved at løse ligningen F (x) = α. Angiv eksplicit 5%-fraktilen, medianen og 95%-fraktilen.
Spørgsmål 2.4. Lad X være en reel stokastisk variabel hvis fordeling har en tæthed p, der opfylder betingelserne ovenfor. Lad X have fordelingsfunktion F og lad den tilhørende fraktilfunktion være q. Betragt den transformerede stokastiske variabel Y=a+bX for a, b ∈ R, b /= (ikke lig med) 0. Find fordelingsfunktionen F ~ for Y , og vis at
Y har fraktilfunktion q ~(α)=a+bq(α) for alle α∈(0,1)
Vink: udnyt atF ~(x) = P (a + b X ≤ x).

Spørgsmål 2.5. Forklar hvorfor både standard normalfordelingen og Cauchy-fordelingen har 0 som median.
Spørgsmål 2.6. Lad Z være logaritmisk normalfordelt med parametre (0, 1) (se opgave 1). Vis at medianen for Z er lig e.
Vink: Brug at Z = exp(X) hvor X er standard normalfordelt.

Spørgsmål 2.7. Lad Z være logaritmisk normalfordelt med parametre (μ,σ^2) (se opgave 1). Find medianen for Z.

Spørgsmål 2.8. Lad X være en reel stokastisk variabel hvis fordeling har en tæthed p, der opfylder betingelserne i starten af opgaven. Lad X have fordelingsfunktion F og lad den tilhørende fraktilfunktion være q. Betragt den transformerede stokastiske variabel Y =F(X).

Vis at Y er ligefordelt på [0, 1].
Vink: Find fordelingsfunktionen for Y ved at gøre rede for at q er strengt voksende (f.eks. ved at finde differentialkvotienten), og udnytte det til at indse at Y≤y hvis og kun hvis q(Y)≤q(y).
Alternativ metode: find tætheden for Y ud fra tæthedstransfor- mationsformlen.
Resultatet af følgende opgave angiver en vigtig metode til at simulere stokastiske variable på en computer med en foreskrevet fordeling. Metoden kræver at man kan simulere ligefordelte stokastiske variable, og at man har adgang til fraktilfunktionen for den fordeling man ønsker at simulere fra.
Spørgsmål 2.9. Lad p være en sandsynlighedstæthed på et in-terval I ⊂ R. Antag at p opfylder betingelserne i starten af opgaven. Lad F være den tilhørende fordelingsfunktion, og lad q være fraktilfunktionen.
Lad U være en reel stokastisk variabel, der er ligefordelt på [0, 1]. Vis at den stokastiske variabel
X = q(U) har fordelingsfunktion F og dermed tæthed p.
Vink: man kan gå frem analogt med delopgave 2.8 - begge de der skitserede metoder virker.