Hjælp til skæring med y-akse

.

du har nok fået noget som RootOf(noget med Z, index = et tal) du kan så evaluere det med evalf()

du kan fx skrive solve(din ligning,t);evalf(%)

(Der er i øvrigt uendelig mange løsninger til ligningen)

Nej Emmelie, det er ikke dig der gøre noget forkert. Jeg kan heller ikke finde ud af det.

Lad os antage at vi har  fundet et t₀ sledes at x(t₀) = 0,dvs.

x(t₀) = 5cos(t₀/2) + 4cos(t₀) = 0. Den hertil svarende y-værdi bliver da:

y(t₀) = 5sin(t₀/2) + 4cos(t₀). Heraf finder man:

y(t₀) - x(t₀) = 5(sin(t₀/2) - cos(t₀/2)) og da x(t₀) = 0 fås:

y(t₀) = 5(sin(t₀/2) - cos(t₀/2))

Men da vi ikke  har fundet vores t₀ hjælper det jo ikke meget.

Er du sikker på formlerne? I så fald må vi håbe der er en anden der kan redde os.

Hvis man har vektorfunktionen givet ved

x = 5·cos(t/2) + 4·cos(2t)

y = 5·sin(t/2) + 4·cos(2t)

ser vi, at x = 0 er opfyldt, hvis der gælder

5·cos(t/2) + 4·cos(2t) = 0 , dvs

4·cos(2t) = -5·cos(t/2) .

Benytter vi nu formlen for den dobbelte vinkel, cos(2t) = 2·cos²(t) - 1 , får vi

4·(2·cos²(t) - 1) = -5·cos(t/2) , eller

8·cos²(t) - 4 = -5·cos(t/2) ,

og benytter vi den en gang mere, får vi

8·(2·cos²(t/2) - 1)² -4 = -5·cos(t/2) , dvs.

32·cos⁴(t/2) -32·cos²(t/2) + 5·cos(t/2) + 4 = 0 .

Størrelsen cos(t/2) er med andre ord en rod i 4.-gradsligningen

32x⁴ - 32x² +5x +4 = 0 ,

der har de fire reelle rødder

x₁ = 0,549797963159916 , x₂ = 0,760579900406574, x₃ = -0,294151993132771,
og x₄ =  -1,0162258704337192 ,

hvoraf kun de tre første kan benyttes, da der skal gælde |cos(t/2)| ≤ 1 .

For hver mulig værdi af cos(t/2) kan vi beregne

cos(t) = 2·cos²(t/2) - 1 , cos(2t) = 2·cos²(t) - 1 , og sin(t/2) = ±√(1 - cos²(t/2)) ,

og dermed kan vi beregne y = 5·sin(t/2) + 4·cos(2t). Dette fører til, at de mulige skæringspunkter med y-aksen vil have y-koordinater, der skal søges blandt de 6 værdier

y₊₁ = 1,42749854 , y_-1 = -6,92547817

y₊₂ = -0,55667779 , y_-2 = -7,04912121

y₊₃ = 6,24955324 , y_-3 = -3,30803330

Tegner man grafen, ser det ud til,at de alle seks er mulige.

Grafen for vektorfunktionen

x = 5·cos(t/2) + 4·cos(2t)

y = 5·sin(t/2) + 4·cos(2t)

kan beskrives ved at et punkt bevæger sig jævnt på en cirkel med radius 5, hvis centrum bevæger sig med sinusformet fart på liniestykket mellem punkterne (-4,-4) og (4,4) .