Bestemmelse af høje i en trekant

Højden h_b på siden b deler siden b i to stykker med længderne x og (b-x). Ud fra de to retvinklede trekanter får man af Pythagoras

x² + h_b² = c² og

(b-x)² + h_b² = a²

Beregn x ved at eliminere h_b, og beregn så h_b til sidst.

Vil du være så venlig at vise udregningen med de givne tal - jeg kan nemlig ikke finde hoved og hale i disse formler?

#2

Trækker man de to ligninger fra hinanden, får man

b² - 2bx = a² - c² ,

så

x = (b² + c² - a²) / (2b)

og dermed finder man h_b af

h_b² = c² - x² = (4b²c² - (b² + c² - a²)²) / (4b²)

                       = (2bc + b² + c² -a²)(2bc -b² -c² +a²) / (4b²)

                       = ((b+c)² - a²)(a² - (b-c)²) / (4b²)

                      = (a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) / (4b²)

Indirekte er her vist Herons formel for beregning af trekantens areal:

T = (1/2)·b·h_b = (1/4) · [ (a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) ]^1/2

eller
            cos(A) = (b²+c² - a²)/(2bc) = (4,1²+3,8² - 4,65²)/(2•4,1•3,8) = 0,30897

            A = cos^-1(0,30897) =  72,00º

            h_b = c • sin(A) = 3,8•sin(72,00º) = 3,61

eller

                  (1/2) • h_b•b = T = (1/4) • √((b² - (a-c)²) • √((a+c)² - b²)

                  h_b = (1/(2b)) • √((b² - (a-c)²) • √((a+c)² - b²)

                  h_b = 0,121951• √(16,81 - 0,7225) • √(71,4025 -16,81)

                  h_b = 0,121951• √(16,0875) • √(54,5925)

                  h_b = 3,61