diff.ligning

Det kommer sandelig an på, hvad du bliver bedt om. Skal du vise, at en foreliggende funktion er løsning til differentialligningen?

Lidt nærmere information ville hjælpe på sagen.

//Epsilon

Hvis du skal løse differentialligningen går man frem i to skridt.

I første skridt bestemmes en partikulær løsning. Ved at kigge på ligningen kan man let få den tanke, at en partikulær løsning må have formen

f(x) = ax^2 + bx + c, a,b,c E R

Ved at indsætte dette udtryk i højresiden, og afstemme konstanterne a,b,c således at ligningen er opfyldt, haves en partikulærløsning.

I andet skridt bestemmes samtlige løsninger til den forelagte differentiallignings svarende homogene ligning

y' - 2y = 0

Løsningerne til denne ligning kender du sandsynligvis. Ellers kan de nemt bestemmes ved separation.

Samtlige løsninger til differentialligningen er nu summen af den uendelige mange løsninger til den homogene ligning og den ene partikulære løsning fra skridt et.

det lyder ret rigtigt, for jeg skal få et andengradspolynomium. men jeg forstår ikke helt hvad du mener. Hvad er en partikulærløsning??
hvis jeg indsætter det i højreside så får jeg jo

y' - 2y = ax^2 + bx + c

Hvad kan jeg bruge det til?

#3 En partikulær løsning er en løsning til den inhomogene ligning. Summen af denne løsning og de uendeligt mange løsninger til den homogene ligning er netop løsningerne til ligningen.

Du skal ikke sætte f(x) ind i højresiden. Du skal antage at f(x) er en løsning (y=f(x)) og dernæst afstemme konstanterne a,b,c således at venstresiden er lig højresiden.

Jeg viser de første skridt her:

Antag y=f(x) er en partikulær løsning. Da skal der gælde

f'-2f = 4x^2 - 4x <=>

(2ax+b)-2(ax^2+bx+c) = 4x^2-4x <=>

-2ax^2 + 2(a-b)x +(b-2c) = 4x^2-4x

Hvad skal der nu gælde om a,b og c for at denne ligning er opfyldt?

#3:
En partikulær løsning er såmænd blot en funktion, som opfylder differentialligningen. Jeg antager, at du blot skal bestemme et andengradspolynomium, som er løsning til differentialligningen

y' - 2y = 4x^2 - 4x (*)

Er det derimod den fuldstændige løsning (læs: samtlige løsninger) til (*), som efterspørges, så følg blot anvisningen i sidste halvdel af #2.

Vi søger et andengradspolynomium:

p(x) = ax^2 + bx + c, a != 0

som er løsning til (*). Derfor sætter vi y = p(x), hvorved

y' = p'(x) = 2ax + b

Indsæt p og p' på venstre side i (*) og bestem koefficienterne a, b og c således, at p er en løsning.

//Epsilon