Matematik

bevis(induktionsprincip)

28. september 2005 af sis88 (Slettet)

heej..da dette med beviser er helt nyt stof for mig har jeg brug for hjælp til i hvert fald at starte..opg lyder således:

vis at der for alle naturlige tal n gælder

q(n): 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = 1/6n(n+1)(2n+1)
dette skal gøre vha. induktionsprincippet

hint?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Beviset kører i tre trin:

1) Vis, at q(1) er sand.
2) Antag dernæst, at q(k) er sand.
3) Vis, at q(k) => q(k+1); altså skal du ud fra antagelsen i 2) vise, at q(k+1) er sand.

Når du er kommet gennem disse trin, har du vist at q(n) er sand for ethvert naturligt tal n.

Svar #2
28. september 2005 af sis88 (Slettet)

trin 1) betyder det bare at jeg skal indsætte tallet "1" istedet for n?

dvs.
q(1): 1^2+2^2+3^2+...+1^2 = 1/6n(1+1)((2*1)+1)

???????????????

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. september 2005 af Waterhouse (Slettet)

Du sætter tallet 1 ind for n, ja. Men så bliver venstresiden jo blot 1^2.

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Lad mig vise dig hvordan det kan gøres:

Lad allerførst q(n) være udsagnet

1^2 + 2^2 + ... + n^2
= 1/6*n(n+1)(2n+1),

hvor n er et naturligt tal.

Trin 1:
Vi skal vise, at q(1) er sand, så vi regner løs for n = 1:

1^2
= 1/6*6
= 1/6*((1+1)*(2*1+1)).

Hermed har vi vist INDUKTIONSSTARTEN.

Trin 2:
Antag nu, at q(k) er sand; altså at

1^2 + 2^2 + ... + k^2
= 1/6*k(k+1)(2k+1).

Trin 3:
Ved brug af udsagnet i Trin 2, vil vi nu vise, at q(k+1) er sand. Igen regner vi løs, og bruger undervejs vores antagelse i Trin 2:

1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2
= 1/6*k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2
= ...
= 1/6*(k+1)(k+2)(2k+3)
= 1/6*(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1).

[Lav selv mellemregningerne.]
Hermed har vi nu vist, at q(k) => q(k+1), og ifølge induktionsaksiomet betyder dette, at udsagnet q(n) er sandt for ethvert naturligt tal n.

Svar #5
28. september 2005 af sis88 (Slettet)

1) 1^2 = 1/6(1+1)((2*1)+1)

er med intil videre, kan bare ikke rigtig komme videre..første gang er altid så træls:S

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#4: Jeg glemte lige at tilføje, at Trin 3 kaldes INDUKTIONSSKRIDTET.

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Hvor i #4 har du problemer?

Svar #8
28. september 2005 af sis88 (Slettet)

#5 var svar på #3

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#8:
Okay, men er du med på hvad jeg laver i #4?

Svar #10
28. september 2005 af sis88 (Slettet)

jaa..indtil trin 3)

1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2
= 1/6*k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2
= ...
= 1/6*(k+1)(k+2)(2k+3)
= 1/6*(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1).

i anden linie står der "+ (k+1)^2" hvorfor, hvor kommer de fra?

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#10:
Leddet (k+1)^2 i anden linje stammer fra første linje, hvor det sidste led jo også er (k+1)^2.

Svar #12
28. september 2005 af sis88 (Slettet)

mmm
hvad med resten?
stammer det også fra første linje..dvs. "/6*k(k+1)(2k+1)" ??

Svar #13
28. september 2005 af sis88 (Slettet)

i #12 mener jeg selvfølgelig "1/6*k(k+1)(2k+1)"

Brugbart svar (0)

Svar #14
28. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#13:
De kommer netop fra induktionsantagelsen i Trin 2.

Brugbart svar (0)

Svar #15
28. september 2005 af DMUS (Slettet)

Vil du prøve at skrive alle mellemregninger til bevisførelsen i trin 3.

Har heller ik haft om det før, og følger spændt med.

Du siger, når p(1) er sand, følger her efter p(2), når det er sandt følger p(3) osv. osv.

Brugbart svar (0)

Svar #16
29. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

I Trin 3 bruger vi (ved første lighedstegn) INDUKTIONSANTAGELSEN i Trin 2:

1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2
= 1/6*k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2
= 1/6*(k^2+k)(2k+1) + k^2+2k+1
= 1/6*(2k^3+k^2+2k^2+k) + 1/6*(6k^2+12k+6)
= 1/6*(2k^3+3k^2+k + 6k^2+12k+6)
= 1/6*(2k^3+9k^2+13k+6).

Nu regner vi lige "baglæns" (vi ved jo hvad vi gerne skal nå frem til), da det er meget nemmere at multiplicere faktorer end at faktorisere:

(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)
= (k+1)(k+2)(2k+3)
= (k^2+2k+k+2)(2k+3)
= (k^2+3k+2)(2k+3)
= (2k^3+3k^2+6k^2+9k+4k+6)
= (2k^3+9k^2+13k+6).

Ved kombination af disse to beregninger, ser vi at

1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2
= 1/6*(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1).

Hermed har vi vist udsagnet for n = k+1, og vi er dermed færdige, da induktions-aksiomet så giver os, at udsagnet er sandt for alle naturlige tal n.

Brugbart svar (0)

Svar #17
29. september 2005 af DMUS (Slettet)

Okay, jeg kan godt gennemskue det nu.. Det kræver dog man holder tungen lige i munden...

Men det er guld værd! :)

Tusind tak skal du have, væsentlig bedre beskrevet end dem jeg tidligere har set :)

Brugbart svar (0)

Svar #18
29. september 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#17:
Velbekomme!

Skriv et svar til: bevis(induktionsprincip)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.