vis udtryk er positivt

#0: Vis, at f(x) = [udtryk du har der] > 0 for x gående mod 0 fra højre og samtidig, at f'(x) > 0 for x ∈ R+

#0

Der mangler en afsluttende parentes i det sidste led. Jeg går ud fra, at ln() rækker over hele brøken:

f(x) = 1/cosh(x) + ln[ cosh(x)/(1+cosh(x)) ]

Der er ikke noget problem for x gående mod 0 fra højre, da der ikke er tale om at dividere med 0 eller tage ln() af 0. Der gælder umiddelbart

f(0) = 1 + ln(1/2) = 1 - ln(2) > 0

Man finder

f '(x) = -sinh(x) / [ cosh²(x)·(1+cosh(x)) ] < 0 for x > 0.

Funktionen f(x) er derfor monotont aftagende for x > 0 , så det drejer sig om at vise, at f(x) → 0 gennem positive værdier for x → ∞

problemet er at jeg tager et kurus hvor vi bygger alt op fra bunden og diff regning er endnu ikke tilladt

#3

Det er jo vanskeligt for os at vide, hvad du har til rådighed i dit pensum.

Desuden har du tidligere stillet spørgsmål, der vedrørte differentialregning.

#3

Så må du i stedet angribe ligningen direkte.

Man skal løse ligningen

1/cosh(x) + ln( cosh(x)/(1+cosh(x)) ) = 0 , dvs

1/cosh(x) = - ln( cosh(x)/(1+cosh(x)) ) = ln( (1+cosh(x))/cosh(x) ) = ln(1 + 1/cosh(x))

Det drejer sig derfor om at løse ligningen

y = ln(1 + y) , 0 < y < 1 ,

eller snarere om at vise, at for 0 < y < 1 gælder y > ln(1+y) , eller e^y > 1+y .