integrere

Brug substitution (t = x²+3) i den første.

I den anden forstår jeg ikke hvad du mener.

Den femte rod af et tal a er det samme som a^(1/5).

Probelemet for os er at forstå, hvilken funktion du tænker på i den anden - før vi ved det kan vi ikke hjælpe særlig præcist.

Er det

( sqrt(x^3) )^(1/5)*ln(x)

eller

x^(1/3)*ln(x)

eller noget helt tredie?

Hvis din funktion indeholder ln(x) som faktor (kan skrives som noget ganget med ln(x)), så kan partiel integration bruges. Tænker på denne regel, hvor S betegner integration, og hvor F(x) = S(f(x))dx:

S(f(x)*g(x))dx = F(x)*g(x) - S(F(x)*g'(x))dx,

med ln(x) som f(x). Dette er smart, fordi S(ln(x))dx = 1/x = x^(-1), hvorved det sidste integrales integrand kan så sikkert kan reduceres til noget rent potens-noget, (som er let at integrere).

Nr 2 er:
(x^3)^(1/5)*lnx dx

Er stadigvæk ikke med i den første

Ups, har haft hovedet under armen og har lavet en SLEM fejl i #2: Det er jo ikke rigtigt, at S[ln(x)]dx = 1/x + k, men omvendt: S[1/x]dx = ln(x) + k. Og det betyder så, som bekendt at ln'(x) = 1/x.

For fuldstændighedens skyld: S[ln(x)]dx = x*ln(x) - x + k.

Men det ændrer ikke ved at tricket kan bruges alligevel, så for at gøre skaden god får du den her:

Reglen er:

S[f(x)*g(x)]dx = F(x)*g(x) - S([F(x)*g'(x)]dx

Med

f(x) = (x^3)^(1/5) = x^(3/5)

og

g(x) = ln(x) kan din udregning gå sådan her i flg. reglen: Først regner du ud, at

F(x) = s[x^(3/5)]dx = (5/8)*x^(8/5)
g'(x) = 1/x = x^(-1)

Dernæst bruger vi reglen:

S[(x^3)^(1/5)*ln(x)]dx =
(5/8)*x^(8/5)*ln(x) - S[(5/8)*x^(8/5)*x^(-1)]dx =
(5/8)*x^(8/5)*ln(x) - S[(5/8)*x^(3/5)]dx =
(5/8)*x^(8/5)*ln(x) - (5/8)*(5/8)*x^(8/5) + k,

hvilket kan reduceres lidt mere, men det klarer du sikkert selv.