Taylorrækken

se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1308716

I bogen finder du cos(x)= 1 - x²/(2!) + x⁴/(4!) - ...

nu med 2x:

cos(2x)= 1 - (2x)²/(2!) + (2x)⁴/(4!) - ...

????

= 1/2 - √3(x-π/6)-2(x-π/6)²/2! + ...

Man skal benytte udtrykket for Taylorrækken

f(x) = f(x₀) + ∑^∞_n=1 f⁽ⁿ⁾(x₀)/n! · (x-x₀)ⁿ

Med f(x) = cos(2x) og x₀ = π/6 , skal man beregne de højere afledede af f(x₀) i dette punkt.

Diskussionen kører også i den anden tråd, se linket i #1.

#2  Det er kun næsten taylorrækken for cos(2x) udviklet fra x =0. For at det skal blive Taylorækken for cos(2x) skal du trække de 2 i 2x ud for sig selv. Der spørges imidlertid om Taylorrækken udviklet fra π/6

Tak allesammen. Har jeg forstået det rigtigt denne gang? Vedhæftet

#6

Det ser rigtigt ud. Benyt, at man kender de eksakte værdier for cos(π/3) of sin(π/3) .

hvad menes der med det? Hvordan skal det gøres?

#8

Man bør vide, at

cos(π/3) = 1/2 , og at sin(π/3) = (√3)/2 .

Jeg har bare fulgt bogen..er der en regel om hvor mange gange det skal differentieres? Jeg forstår ikke det jeg er kommet frem til :(

#10

Taylorrækken er en uendelig række, se #4. Man kan så med fordel benytte, at cos() differentieret 2 gange giver -cos() , og at sin() differentieret 2 gange giver -sin():

(cos(2x))⁽²ⁿ⁾ = (-1)ⁿ·2²ⁿ·cos(2x) , og

(cos(2x))⁽²ⁿ⁺¹⁾ = -(-1)ⁿ·2²ⁿ⁺¹·sin(2x)

Jeg er stadig ikke med. Har løst opgaven på en anden måde. Kan den regel bruges og hvis nej hvilken skal man bruge og hvorfor?

er virkelig lost :(

#12

#13

Du kan ikke bare tage rækken for cos(x) og så kalde det rækken for cos(2x) og så yderligere erstatte x, først med x-π/6 og så videre med 2x-π/6.

Man får rækken for cos(2x) ved at erstatte x med 2x i rækken for cos(x).

Når man skal bestemme Taylorrækken for cos(2x) ud fra x₀ = π/6 skal man beregne alle de afledede for cos(2x) i punktet π/6 .

Vil du prøve at vise hvordan du løser a) med en forklaring?

#15

Hvad går a) ud på?

Igen: Beregn de højere afledede af cos(2x) for x = π/6 og indsæt i udtrykket i #4 for Taylorrækken.

a) går ud på:  f(x)=cos(2x). Find Taylorrækken for f(x) omkring π/6.

Hvordan gør man det? Vil du ikke nok vise det?

#17

Det er jo forklaret i detaljer ovenfor.

Man beregner de afledede i π/6 ved at benytte

(cos(2x))⁽²ⁿ⁾ = (-1)ⁿ·2²ⁿ·cos(2x) , og

(cos(2x))⁽²ⁿ⁺¹⁾ = -(-1)ⁿ·2²ⁿ⁺¹·sin(2x)

sammen med

cos(π/3) = 1/2 , og sin(π/3) = (√3)/2 .

Man har så

(cos(2x))⁽²ⁿ⁾_|x=π/6 = (-1)ⁿ·2²ⁿ·cos(π/3) = (-1)ⁿ·2²ⁿ·(1/2) = (-1)ⁿ·2^2n-1 , og

(cos(2x))⁽²ⁿ⁺¹⁾_|x=π/6 = -(-1)ⁿ·2²ⁿ⁺¹·sin(π/3) = -(-1)ⁿ·2²ⁿ·√3

Man har så for Taylorrækken

f(x) = ∑^∞_n=0 (cos(2x))⁽²ⁿ⁾_|x=π/6 · (x-π/6)²ⁿ/(2n)! + ∑^∞_n=0 (cos(2x))⁽²ⁿ⁺¹⁾_|x=π/6 · (x-π/6)²ⁿ⁺¹/(2n+1)!

      = ∑^∞_n=0 (-1)ⁿ·2^2n-1 · (x-π/6)²ⁿ/(2n)! - ∑^∞_n=0 (-1)ⁿ·2²ⁿ·√3 · (x-π/6)²ⁿ⁺¹/(2n+1)!

Tusind tak!

 Hvad så når det er Maclaurinrækken for f(x)?

se #2 og #5