Simpel spørgsmål

At årsagen til din eksperimentelle observation skal søges i en masse- eller radiusafhængighed.

Det er tænkeligt at mindst een af cylindrene i dit eksperiment ikke foretager en ren rulning. I et sådant tilfælde vil de to cylindres massemidtpunkter have forskellig acceleration.

Betragt en cirkulær cylinder med radius R, masse M og massemidtpunkt C på cylinderaksen. Cylinderen ruller ned ad et skråplan, hvis hældningsveinkel med vandret er v. Cylinderens bevægelse ønskes fundet.

a) Det antages først at der er ren rulning, dvs v_C=Rw, hvor v_C er massemidtpunktets hastighed og w (=omega) cylinderens vinkelhastighed.

Cylinderen er påvirket af tyngdekraften Mg, normalkraften N og en ukendt gnidningskraft F_f, der er ansvarlig for, at cylinderen roterer. Massemidtpunktssætningen giver nu

Ma_C = N+Mg+F_f

som er en vektorligning. Projiceret lags skråplanet bliver

Ma_C = Mgsin(v)-F_f (1)

Impulsmomentsætningen anvendt om C og med positiv retning i overensstemmelse med cylinderens rotationsretning giver

I_C*dw/dt = RF_f (2)

hvor I_C = ½MR^2 er cylinderens inertimoment om cylinderaksen. Ligning (1) og (2) indeholder tre ubekendte. Den manglende ligning er en geometrisk betingelse, idet der ved ren rulning er et bånd mellem rotation og translation

a_C = R*dw/dt (3)

Heraf fås:

a_C = 2gsin(v)/3

dw/dt = 2gsin(v)/(3R)

F_f = Mgsin(v)/3

i overensstemmelse med det oplyste. Betingelsen for ren rulning er, at F_f =

Mgsin(v)/3 =

tan(v)/3 =

b) Er rulningsbetingelsen ikke opfyldt, vil cylinderen både rulle og glide ned ad skråplanet. I dette tilfælde er gnidningskraften

F_f = u_k*N

hvor u_k er den kinematiske gnidningskoefficient. Nu kan a_C og dw/dt findes direkte af ligningerne (1) og (2)

Ma_C = Mgsin(v)-u_k*Mgcos(v) <=>

a_C = g(sin(v)-u_k*cos(v))

I_C*dw/dt = R*u_k*Mgcos(v) <=>

dw/dt = 2u_k*gcos(v)/R

Med mindre den kinematiske gnidningskoefficient opfylder betingelsen u_k = tan(v)/3 er a_C ikke uafhængig af om rulningsbetingelsen er opfyldt.

Bemærk iøvrigt, at såvel a_C som dw/dt er konstante. Heraf findes v_C(t) og w(t) som

v_C(t) = g(sin(v)-u_k*cos(v))t+v_0

w(t) = 2g*u_k*tcos(v)/R+w_0

hvor v_0 og w_0 er startværdier.

Såfremt ligningen v_C(t)=Rw(t) har en løsning, t=t1, er t1 det tidspunkt, hvor bevægelsen overgår til ren rulning. Fra dette tidspunkt skal atter benyttes teorien fra afsnit a).