Matematik

Konveks mængde

03. april 2013 af AGAA (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa.

Lidt hjælp ønskes -- >

Lad (E,A,μ) være et målrum med μ(E)≠0 og lad (V,+,R) være et endeligt dimensionalt vektorrum. Lad B_V være Borelalgebraen på V og lad V* betegne det duale rum til V.

For en vilk. målelige funktion t:(E,A)→(V,B_V) sættes φ_t(θ):=∫e^θ(t(x))dμ(x), θ∈V* og D_t:={θ∈V*|φ_t(θ)<∞}

Vis at mængden D_t er konveks. Og hvad kan sluttes om log(φ_t):D→R.

PFT AGAA

Brugbart svar (4)

Svar #1
03. april 2013 af ultramaniac (Slettet)

#0 Brug Hölders ulighed. Omkring log(φ_t)∈R^D bør du kunne slutte at den er konveks.

Svar #2
03. april 2013 af AGAA (Slettet)

#1 tak for svar, men kan du ikke udpensle lidt?

PFT

Brugbart svar (4)

Svar #3
03. april 2013 af ultramaniac (Slettet)

#2 Lidt hurtigt regnet:

Lad θ₁,θ₂∈D og 0<α<1. Af Hölders ulighedhed følger det, at

φ_t(αθ₁+(1-α)θ₂)=∫e^{αθ₁(t(x))+(1-α)θ₂(t(x))}dμ(x)≤[∫e^θ₁(t(x))dμ(x)]^α[∫e^θ₂(t(x))dμ(x)]^1-α=φ_t(θ₁)^αφ_t(θ₂)^1-α<∞

hvorfor αθ₁+(1-α)θ₂∈D_t - i.e D_t konveks.

Eftersom log φ_t(αθ₁+(1-α)θ₂) ≤ α log φ_t(θ₁) + (1-α) log φ_t(θ₂) sluttes at log φ_t er konveks.

Svar #4
04. april 2013 af AGAA (Slettet)

#3 tak for svar :-) Facit siger at log φ_t er strengt konveks! Kan du hjælpe med det?

Skriv et svar til: Konveks mængde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.