Differentialbilitet R^k

Jeg skal forsøge at bevise, der har med differentialbilitet at gøre. Sætningen lyder således "... hvis de partielle afledede D₁f, ..., D_kf alle er kontinuerte i punkt a ∈ Ω, så er f differentiabel i a."

Jeg har i dette tilfælde valgt at lade k = 2 for nemheds skyld. Der skal vises at der findes et c ∈ R² så  Δf = c•Δx + ε(Δx)|Δx|, hvor ε er en epsilon-funktion. 

Jeg har antaget at ud fra en skitse (koordinatsystemet), der forestilles som en cirkel (på kuglen), og der skal være |Δx| < ρ sådan at vi sikrer os vi befinder os i det indre mængde af Ω.

Δf = f(a - Δx) - f(a) = f(a - Δx) - f(a) + f(a₁ + Δx₂, a₂) - f(a₁ + Δx₂, a₂)

hvor a = (a₁, a₂) og Δx = (Δx₁, Δx₂).

Da D₁f og D₂f eksisterer i dette område (dvs. kugle) kan udtrykket Δf omskrives videre ved brug af middelsætningen. Der skal siges, funktionen t → f(t, a₂) er differentiabel i to intervaller, sådan at der findes to punkter ξ₁ ∈ ] a₁, a₁ + Δx₁ [ og ξ₂ ∈ ] a₂, a₂ + Δx₂ [, derfor

Δf = D₁f(ξ₁, a₂)Δx₁ + D₂(a₁ + Δx₁, ξ₂)Δx₂

Da disse to partielle afledede er kontinuerte i punkt a, har det med grænseværdien at gøre, for Δx gående mod 0. Et eller andet sted i nogle eksempler, jeg blev inspireret fra bøger/nettet, mener jeg at næste trin skulle være: 

D₁f(ξ₁, a₂)Δx₁ - D₁f(a) = ε₁(Δx₁)   og   D₂(a₁ + Δx₁, ξ₂) - D₁f(a)= ε₂(Δx₂)

Senere, har man vist det som ønsket. Det er dog kun dette punkt, jeg ikke rigtigt hvorfor denne trin skal opstilles på den måde. Kan I forklare mig det?

(Har lige rettet noget igennem på det her opslag, så jeg er ikke sikker på om det er fejlfrit tastet)