Matematik

f(x) = a??

12. oktober 2005 af mathman (Slettet)

Hej - håber der er en behjælpsom sjæl herinde:-)

En funktion er givet ved f(x) = x^4 - 2x^2+1, x tilhører R

Jeg skal så angive for ethvert reelt tal "a" antallet af løsninger til lingningen f(x) = a.

Må nu nok indrømme at jeg er lidt på bar bund!

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. oktober 2005 af fixer (Slettet)

ved en passende omskrivning viser afsløret problemet sig som en maskeret 2. grads ligning. Der gælder nemlig

f(x) = a <=>

x^4 -2x^2 + 1 = a <=>

(x^2)^2 - 2(x^2) + (1-a) = 0

Ved at indføre substitutionen y=x^2 fås 2.grads ligningen

y^2 -2y + 1-a = 0

Bestem løsningerne til den, og derefter løsningerne i x ved at løse y=x^2.

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. oktober 2005 af Waterhouse (Slettet)

x^4-2x^2+1=a
<=>
x^4-2x^2+1-a=0 (1)

Og hvis vi nu sætter t=x^2, har vi en andengradsligning i t:

t^2-2t+1-a=0 (2)

Og da vi kender sammenhængen mellem diskriminanten og antallet af løsninger i en andengradsligning, kan vi opstille antallet af løsninger udtrykt ved a. Dertil skal man så huske, at for hver løsning til (2) har (1) to løsninger, idet t=±sqrt(x).

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. oktober 2005 af Einstein_15 (Slettet)

#3,4

Kan man ikke også bruge Newton-Raphsons algoritme til at løse ligningen. Eller gælder det kun ved 3.grads ligninger?

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Newton-Raphson's metode er en numerisk metode til approksimativ bestemmelse af nulpunkter for reelle funktioner. Den er således ikke begrænset til 3. grads polynomier, men kan dog ikke anvendes i den foreliggende opgave, idet det er antallet af rødder for vilkårlige a der efterspørges, ikke disses approksimative værdier for eet givet a.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. oktober 2005 af Duffy

...hvis vi regner vidrer på det som fixer på begyndte:

f(x) = a <=>

x^4 -2x^2 + 1 = a <=>

(x^2)^2 - 2(x^2) + (1-a) = 0

Ved at indføre substitutionen y=x^2 fås 2.grads ligningen

y^2 -2y + 1-a = 0

Og vi skulle jo svare på:

"...angive for ethvert reelt tal "a" antallet af
løsninger til lingningen f(x) = a."

y = x^2 = [-(-2) ±sqrt((-2)^2-4*1*(1-a))]/2

x^2 = 1 ±sqrt(a)

dvs

x= ±sqrt(1±sqrt(a))

Vi ser så at for

a har ingen løsninger (ingen relle i hvert fald!),

for

a=0 => x = ±sqrt(1±sqrt(0)) = ±sqrt(1±0) = ±sqrt(1) = ±1

dvs 2 løsninger, nemlig x E {-1 , 1}

for

a>0 => x= ±sqrt(1±sqrt(a)) - altså 4 forskellige løsninger,

nemlig x E {-sqrt(1-sqrt(a)), -sqrt(1+sqrt(a)), sqrt(1-sqrt(a)), sqrt(1+sqrt(a))}

...som er det søgte svar for hhv
a=0, a0.

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. oktober 2005 af kskovsgaard (Slettet)

Hvis man nu tager et kig på grafen vil man se at der faktisk kun er 4 løsninger for a i intervallet ]0;1[, hvorimod at der kun er 2 løsninger for a>1.
resten er sådan set rigtigt nok duffy. Men jeg kan ikke lige forklare hvorfor at grafen teer sig sådan:o)

\\\\kristian

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. oktober 2005 af kskovsgaard (Slettet)

og man kan også se at der faktisk er 3 løsninger i for f(x) = 1

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. oktober 2005 af allan_sim

#7.
Tja, for a=1 er 1-sqrt(1)=0, således at to af løsningerne bliver identiske.

For a>1 er 1-sqrt(a)

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

Alternativt kunne man ræsonnere ud fra en monotoniundersøgelse.

Vi ser, at

f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1), x E R

hvilket leder til fortegnsvariationen

f'(x) < 0 <=> x E ]-infty;-1[ U ]0;1[
f'(x) > 0 <=> x E ]-1;0[ U ]1;infty[

samt nulpunkterne: x = -1,0,1.

Da f' er kontinuert og således kun skifter fortegn i nulpunkterne, kan fortegnsvariationen umiddelbart "oversættes" til monotoniforholdene for f (jf. monotonisætningen);

f er aftagende i ]-infty;-1] og [0;1]
f er voksende i [-1;0] og [1;infty[

f har lokale minima i x = ±1 og lokalt maksimum i x = 0 med ekstremumsværdier

f(±1) = 0 hhv. f(0) = 1

Endvidere er f kontinuert og opadtil ubegrænset, thi

f(x) -> infty for x -> ± infty

Kombineres disse observationer med monotoniforholdene for f, slutter vi, at V_f = [0;infty[. Vi kan derfor af værdimængden samt monotoniforholdene for f konkludere, at antallet #_a af løsninger til ligningen

f(x) = a, a E R

må være som følger:

#_a = 0 <=> a
#_a = 2 <=> a = 0 v a > 1
#_a = 3 <=> a = 1
#_a = 4 <=> 0

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. oktober 2005 af Duffy

#6:

Uanset valg af a E R

så har f(x) = a

4 distinkt forskellige løsninger

nemlig

x E {-sqrt(1-sqrt(a)), -sqrt(1+sqrt(a)),
sqrt(1-sqrt(a)), sqrt(1+sqrt(a))}

Duffy

Skriv et svar til: f(x) = a??

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.