Funktionsfølge

Jeg følger spændt med... :)

se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1338953

Det forstår jeg ikke så meget af =(

Sæt a = e^x og undersøg, for hvilke a er følgen

f_n = (1 + (a/e)ⁿ) / (1 + (1/(ae))ⁿ)

konvergent.

Når jeg kigger på tælleren, 1 + (a/e)ⁿ, vil dette udtryk konvergere hvis a = 1. Antager man det så at a = 1, ser vi på nævneren vi får 1 + (1/e)ⁿ→ 1 for n → ∞. Dermed konvergerer følgen mod 1, og så

1 = e^x  ⇒ x = ln(1) = 0. Eller?

#5

Tælleren alene vil konvergere, hvis 0 < (a/e) ≤ 1 , dvs hvis 0 < a ≤ e , eller x ≤ 1 .

Da nævneren altid er > 1 , gælder der

1 + (1/(ae))ⁿ → 1 hvis 1/(ae) < 1 , dvs hvis a > e^-1 , eller x > -1 , og

1 + (1/(ae))ⁿ → 2 , hvis 1/(ae) = 1 , dvs hvis a = e^-1, eller x = -1 , og 

1 + (1/(ae))ⁿ → ∞ , hvis  1/(ae) > 1 , dvs hvis a < e^-1, eller x < -1 .

I alle tre tilfælde for nævneren vil hele brøken konvergere, hvis tælleren konvergerer, dvs for x ≤ 1 .

Hvis x > 1 divergerer tælleren, men nævneren konvergerer mod 1, så hele brøken vil divergere.

hej analyse 1-tager :) det letteste er at bruge Dinis teorem som er nævnt i kalkulus. En funktions følge der på et lukket interval konvergerer mod en kontinuert funktion konvergerer uniformt på intervallet.

Der for gælder umiddelbart:

fn konvergerer uniformt på

[-a,a] ,hvor a<1

og på

[b,c], c, b<-1

Er du ikke enig Andersen? 

Jeg synes det giver god mening, det er jo i x=-1 og x=1 at det hele skiller, så funktionsfølgen er ikke uniformt konvergent på f.eks. [-1,1] hvilket også viser sig ved grænsefunktionen.

hov der skulle stå 0<a<-1 og intervallet [b,c] kommer jo faktisk ikke i betragtning på den måde spørgsmålet er formuleret på.

#6

Hvorfor skal nævneren "altid" være større en 1? "Hvis x > 1 divergerer tælleren, men nævneren konvergerer mod 1, så hele brøken vil divergere." Hvordan kan nævneren konvergere mod 1 hvis x > 1, der ikke stemmer overens med det første/tredje tilfælde?

#7

Jeg ved ikke så meget om Dinis Theorem, som vi ikke rigtigt har gennemgået i nogle forelæsninger. Kan man bruge det som besvarelse?

#9

Der er ikke tale om at nævneren skal være større end 1, men det er tilfældet her. Af en eller anden grund ændrer du altid betydningen af det, der skrives.

(Se #6). Når x > 1, gælder der for nævneren, at 1 + (1/(ae))ⁿ → 1 . Da tælleren divergerer, divergerer hele brøken.

jeg fik altså grænsefunktionen:

f(x) = [1 for x<-1, 1/2 for x=-1, 1 for -1<x<1, 2 for x=1, og divergent for x>1]

Det lyder som om, du får noget andet Andersen?

#11

Når x < -1 gælder der, at nævneren → ∞ , mens tælleren konvergerer mod 1, hvorfor 

f_n(x) → 0 for n → ∞ . (for x < -1).

Når x = -1, gælder der, at nævneren → 2, mens tælleren konvergerer mod 1, hvorfor

f_n(x) → 1/2 for n → ∞ ( for x = -1).

For -1 < x < 1 gælder der, at nævneren → 1, mens tælleren konvergerer mod 1, hvorfor

f_n(x) → 1 for n → ∞ ( for -1 < x < 1).

For x = 1 gælder der, at nævneren → 1, mens tælleren konvergerer mod 2, hvorfor

f_n(x) → 2 for n → ∞ ( for x = 1).

For x > 1 er talfølgen f_n(x) divergent.

okay tak, er du også enig i at den er uniformt kontinuert på [-a,a]?, hvor -1<a<1. Dette er jeg meget i tvivl om.

#13

Hvis man skal besvare spørgsmålet i b) korrekt, bliver det 0 < a ≤ 1 .

Man skal undersøge d(f_n(x) , f(x)) for x ∈ [-a;a] .

Ja sorry, det var selvfølgelig også det jeg mente :)

Edit hov nej: Hvordan kan det være a≤1. Skal det ikke være a<1. For a=1 konvergerer funktionen jo punktvis mod en anden funktion en for 0<a<1

#15

Grænsefunktionen f(x) er da den samme. Ved uniform konvergens drejer det sig om, at afstanden d(f_n(x) , f(x)) , beregnet over et interval [-a ; a] , går mod 0.

#12

Kan man godt sige at mængden er x ∈ R \ ]1, ∞] sådan at denne talfølge er punktvis konvergent?

#17

Man vil skrive det som ]-∞;1] . Det andet virker da kunstlet.

Hvad mener du med, at "denne talfølge er punktvis konvergent"? Der er tale om, at en følge f_n(x) af funktioner er punktvis konvergent for x ≤ 1 .

Det forstår jeg altså ikke.

Som du selv skriver:

fn(x) → 2 for n → ∞ ( for x = 1).

For -1 < x < 1 gælder der, at nævneren → 1, mens tælleren konvergerer mod 1, hvorfor

fn(x) → 1 for n → ∞ ( for -1 < x < 1).

Så funktionen er da bestemt ikke kontinuert i x=1 så den kan umuligt konvergere uniformt på et interval, som også indeholder dette punkt.
Hvad misser jeg?
Jeg skulle måske nævne, at jeg refererer til det vigtige teorem, at en funktionsfølge der konvergerer uniformt på et interval må konvergere mod en kontinuert grænsefunktion. Så den KAN IKKE være uniform konvergent på et interval indeholdene x=1.

For -1<a<b<1 er følgen uniform konvergent for x i intervallet [a; b]

Du skal også undersøge for x < -1