Løsningen for den absolute konvergens

Hvis p = 1, har man rækken

-1/2 + 2/3 -3/4 + 4/5 .... = ∑^∞_n=1 (2n/(2n+1) - (2n-1)/(2n))

                                         = ∑^∞_n=1 (4n² -(2n+1)(2n-1))/(2n·(2n+1)) 

                                         ∑^∞_n=1 1/(2n·(2n+1))

som er konvergent, men ikke absolut konvergent.

Prøv at se hvad der sker for p≤1

#1 ,#2

Er det muligt at "løse" uden at antage hvad p skal være lig med for at teste hvad det sker? Ved I hvilken slags form kriterium man kan benytte det? Jeg ved godt at hvis Σ|a_n| og Σa_n konv. så må Σa_n være en absolut konvergent. Hvis vi antager eksempelvis uden brug af nogle formler for kriterier til denne række;

Σ|(-1)ⁿ n^p/(n+1)| = Σn^p/(n+1). Den konvergerer hvis n^p/(n+1) → 0 for n → ∞. Men det ser ud til at der gælder n^{p - 1} = 0 for at få det til at konvergere, og kan endnu ikke finde værdien for denne p.

Det er noget man ser efter nogen træning. For p>1 vokser tælleren hurtigere ned nævneren, så det dur ikke- For p=1 går tæller og nævner lige hurtigt mod uendelig. Hvis p < 1 vinder nævneren