Fysik
Luftmodstand i parabelbane.
14. oktober 2005 af
Sentinox (Slettet)
Hej.
Håber der er et par kloge hoveder man kan diskutere denne opgave med.
Problemstillingen er del af en større opgave, men det er netop denne del der giver problemer.
En skiløber på vej ned af en bakke med en vinkel alfa i forhold til vandret, når til et "knæk" på bakken.
Knækket betyder at bakken bliver stejlere, (Ny vinkel i forhold til vandret = beta > alfa, beta = 40 grader) hvorfor skiløberen mister kontakten med bakken og påbegynder en parabelbevægelse.
I Opgaven antages det at skiløberen til den tid hvor han netop er i slutning af bakkestykket med vinklen alfa i forhold til alfa har hastigheden V0 med retning i bevægelsesretningen, det vil sige V0 parallel med delen af baken der har vinklen alfa i forhold til vandret.
I det der tidligere i opgaven er bestemt at Reynolds tal ~5*10^6, er luftmodstanden da udpræget turbulent, hvorfor den simplificerede model for luftmodel Fluft = - D*v(t)^2 (Hvor D er en konstant).
Idet bevægelsen ikke kan beskrives vha. af de gængse ligninger for parabelbuer (idet acelerationen ikke er konstant), benyttes Newtons anden lov, som jo er en differentialligning.
På vektorform fås:
Ft + Fluft = dv(t)/dt*m
Hvor:
Ft er tyngdekraften på skiløberen.
Fluft er givet ovenfor
dv(t)/dt er accelerationen
m er en konstant (massen af skiløberen).
Problemet betår nu i at projicere Newtons anden lov på henholdsvis x-aksen og y-aksen.
Der er jo netop sådan at vinklen på Fluft varierer med hensyn til positionen i parabelbuen, (retningen er modsat rettet parabelbuen || tangenten i et givent punkt).
Samme problematik er gældende for accelerationen.
Er der nogle der tidligere har behandlet problemer af denne art og kan komme med et par hints?
eslve problemet med at løse de 2 differentialligninger som jeg antager kommer ud af dette er som udgangspunkt ikke noget problem.
pft.
//Sentinox
Håber der er et par kloge hoveder man kan diskutere denne opgave med.
Problemstillingen er del af en større opgave, men det er netop denne del der giver problemer.
En skiløber på vej ned af en bakke med en vinkel alfa i forhold til vandret, når til et "knæk" på bakken.
Knækket betyder at bakken bliver stejlere, (Ny vinkel i forhold til vandret = beta > alfa, beta = 40 grader) hvorfor skiløberen mister kontakten med bakken og påbegynder en parabelbevægelse.
I Opgaven antages det at skiløberen til den tid hvor han netop er i slutning af bakkestykket med vinklen alfa i forhold til alfa har hastigheden V0 med retning i bevægelsesretningen, det vil sige V0 parallel med delen af baken der har vinklen alfa i forhold til vandret.
I det der tidligere i opgaven er bestemt at Reynolds tal ~5*10^6, er luftmodstanden da udpræget turbulent, hvorfor den simplificerede model for luftmodel Fluft = - D*v(t)^2 (Hvor D er en konstant).
Idet bevægelsen ikke kan beskrives vha. af de gængse ligninger for parabelbuer (idet acelerationen ikke er konstant), benyttes Newtons anden lov, som jo er en differentialligning.
På vektorform fås:
Ft + Fluft = dv(t)/dt*m
Hvor:
Ft er tyngdekraften på skiløberen.
Fluft er givet ovenfor
dv(t)/dt er accelerationen
m er en konstant (massen af skiløberen).
Problemet betår nu i at projicere Newtons anden lov på henholdsvis x-aksen og y-aksen.
Der er jo netop sådan at vinklen på Fluft varierer med hensyn til positionen i parabelbuen, (retningen er modsat rettet parabelbuen || tangenten i et givent punkt).
Samme problematik er gældende for accelerationen.
Er der nogle der tidligere har behandlet problemer af denne art og kan komme med et par hints?
eslve problemet med at løse de 2 differentialligninger som jeg antager kommer ud af dette er som udgangspunkt ikke noget problem.
pft.
//Sentinox
Svar #1
14. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Start med at lave en fornuftig tegning med indtegning af de relevante kræfter og et koordinatsystem.
Indlægges et sædvanligt, retvinklet koordinatsystem i planen med x-aksen vandret og y-aksen lodret, lader vi u betegne den vinkel hastighedsvektoren danner med x-aksen (vandret). Initielt er den lig alfa, men som du nævner vil den ændre sig under svævet.
Indføres betegnelserne
v = (vx,vy)
vx = dx/dt
vy = dy/dt
fås ved projektion af N II efter x og y-retningerne
mdvx/dt = -F_luft*cos(u)
mdvy/dt = F_luft*sin(u)-mg
men
cos(u) = vx/|v|
sin(u) = vy/|v|
hvor |v| = sqrt(vx^2 + vy^2)
Substitueres nu udtrykket for F_luft fås
mdvx/dt = -(D|v|^2)*vx/|v| = -D|v|vx
mdvy/dt = (D|v|^2)*vy/v-mg = D|v|vy-mg
God fornøjelse med at løse dem. Må jeg anbefale Fehlbergs 4. ordens Runge-Kutta til numerisk løsning.
Indlægges et sædvanligt, retvinklet koordinatsystem i planen med x-aksen vandret og y-aksen lodret, lader vi u betegne den vinkel hastighedsvektoren danner med x-aksen (vandret). Initielt er den lig alfa, men som du nævner vil den ændre sig under svævet.
Indføres betegnelserne
v = (vx,vy)
vx = dx/dt
vy = dy/dt
fås ved projektion af N II efter x og y-retningerne
mdvx/dt = -F_luft*cos(u)
mdvy/dt = F_luft*sin(u)-mg
men
cos(u) = vx/|v|
sin(u) = vy/|v|
hvor |v| = sqrt(vx^2 + vy^2)
Substitueres nu udtrykket for F_luft fås
mdvx/dt = -(D|v|^2)*vx/|v| = -D|v|vx
mdvy/dt = (D|v|^2)*vy/v-mg = D|v|vy-mg
God fornøjelse med at løse dem. Må jeg anbefale Fehlbergs 4. ordens Runge-Kutta til numerisk løsning.
Skriv et svar til: Luftmodstand i parabelbane.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.