Matematik
Til de kloge hoveder i Mat
17. oktober 2005 af
llm (Slettet)
Her er en opgave fra uni:
Lineær afbildning f: P[1]R --> P[1]R.
som opfylder:
f(1+4x)=1-2x og f(-2-9x)=2+4x
Spørgsmål: Angiv afbildningsmatricen for f mht. til monomiebasis (1,x).
Det skulle meget gerne give:
mFm= [17 -4
-2 0].
MEN Hvordan??
Lineær afbildning f: P[1]R --> P[1]R.
som opfylder:
f(1+4x)=1-2x og f(-2-9x)=2+4x
Spørgsmål: Angiv afbildningsmatricen for f mht. til monomiebasis (1,x).
Det skulle meget gerne give:
mFm= [17 -4
-2 0].
MEN Hvordan??
Svar #1
17. oktober 2005 af Brian (Slettet)
Det er så godt som håbløst at notere lineær algebra herinde, men jeg skal gøre et forsøg...
Vi skal bruge noget notation. Sæt
e0 = 1 og
e1 = x.
Dette er basisvektorerne for monomierummet.
Sæt herefter
p1 = 1 + 4x
p2 = -2 - 9x
q1 = 1 - 2x
q2 = 2 + 4x
Så skal du overbevise dig om, at p1 kan skrives som en liniearkombination af basisvektorerne:
p1 = 1*e0 + 4*e1,
og tilsvarende for de øvrige vektorer.
De oplysninger du har fået, kan du omskrives til
f(p1) = q1 og f(p2) = q2 - samt at f er linieær.
Lad nu A betegne den søgte matrix for f m.h.t. den angivne base.
For en lineær afbildning f gælder (som bekendt?) at f(e0) udtrykt som søjle-vektor angiver en søjle i f's matrix m.h.t. den base vi regner. Og tilsvarende for e1. Hvis koordinaterne skrives op i rækkefølgen e0, e1, så vil f(e0) give A's første søjle.
Altså er opgaven nu at bestemme f(e0) og f(e1).
M.h.t. e0 kan du prøve at eliminere e1-leddet ved at lave en passende linear-kombination af p1 og p2, som jo er de eneste du har oplysninger om - endnu:
9*p1 + 4*p2 = (9 + 36x) + (-8 - 36x) = 1 = 1*e0
Vi bruger nu linieariteten af f:
f(e0) = f( 9*p1 + 4*p2 )
= 9*f(p1) + 4*f(p2)
= 9*q1 + 4*q2
= 9*(e0 - 2*e1) + 4*(2*e0 + 4*e1)
= (9 + 8)*e0 + (-18 + 16)*e2
= 17*e0 -2*e1
Og tilsvarende med e1...
Vi skal bruge noget notation. Sæt
e0 = 1 og
e1 = x.
Dette er basisvektorerne for monomierummet.
Sæt herefter
p1 = 1 + 4x
p2 = -2 - 9x
q1 = 1 - 2x
q2 = 2 + 4x
Så skal du overbevise dig om, at p1 kan skrives som en liniearkombination af basisvektorerne:
p1 = 1*e0 + 4*e1,
og tilsvarende for de øvrige vektorer.
De oplysninger du har fået, kan du omskrives til
f(p1) = q1 og f(p2) = q2 - samt at f er linieær.
Lad nu A betegne den søgte matrix for f m.h.t. den angivne base.
For en lineær afbildning f gælder (som bekendt?) at f(e0) udtrykt som søjle-vektor angiver en søjle i f's matrix m.h.t. den base vi regner. Og tilsvarende for e1. Hvis koordinaterne skrives op i rækkefølgen e0, e1, så vil f(e0) give A's første søjle.
Altså er opgaven nu at bestemme f(e0) og f(e1).
M.h.t. e0 kan du prøve at eliminere e1-leddet ved at lave en passende linear-kombination af p1 og p2, som jo er de eneste du har oplysninger om - endnu:
9*p1 + 4*p2 = (9 + 36x) + (-8 - 36x) = 1 = 1*e0
Vi bruger nu linieariteten af f:
f(e0) = f( 9*p1 + 4*p2 )
= 9*f(p1) + 4*f(p2)
= 9*q1 + 4*q2
= 9*(e0 - 2*e1) + 4*(2*e0 + 4*e1)
= (9 + 8)*e0 + (-18 + 16)*e2
= 17*e0 -2*e1
Og tilsvarende med e1...
Svar #2
17. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Een måde at gøre det på er som følger:
Vi søger afbildningsmatricen A for f mht til basis (1,x). Den må have formen
A=
(a b)
(c d)
hvor a,b,c,d E R.
Med hensyn til denne basis har polynomierne 1+4x og -2-9x koordinaterne hhv (1,4) og (-2,-9). Tilsvarende har polynomierne 1-2x og 2+4x hhv koordinaterne (1,-2) og (2,4) mht denne basis.
Dette giver fire ligninger med 4 ubekendte:
A*(1,4)^T = (1,-2)^T
A*(-2,-9)^T = (2,4)^T
hvor T betegner transponeret. Løs dem mht a,b,c,d.
Vi søger afbildningsmatricen A for f mht til basis (1,x). Den må have formen
A=
(a b)
(c d)
hvor a,b,c,d E R.
Med hensyn til denne basis har polynomierne 1+4x og -2-9x koordinaterne hhv (1,4) og (-2,-9). Tilsvarende har polynomierne 1-2x og 2+4x hhv koordinaterne (1,-2) og (2,4) mht denne basis.
Dette giver fire ligninger med 4 ubekendte:
A*(1,4)^T = (1,-2)^T
A*(-2,-9)^T = (2,4)^T
hvor T betegner transponeret. Løs dem mht a,b,c,d.
Skriv et svar til: Til de kloge hoveder i Mat
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.