Parametrisering & første fundamentalform (Geom1)

Jeg er ikke sikker men ...her er et forsøg

Mht. spgm 1.1:    Din afbildning (u,v) -> σ(u,v) er uendelig differentiabelt (hvorfor?), dvs. den er glat, og er defineret på den åbne mængde U. Det samme gør sig gældende for γ på intervallet ]-1,1[. Intervallerne ]0,1 og ]-1,0[er begge åbne - de er åbne delmængder af den reelle tallinje. Dermed er definitionsmængden for γ krydsproduktet ]0,1[ x ]-1,0[ en åben en delmængde af R²  (check dette), hvis elementer (u,v) afbildes på billedemængden σ(U) som er kurver.  Da γ er glat på en åben delmængde, er γ en parametriseret kurve.

Pointen med denne delopgaven er nok at teste om man kender definitionen på en parametriseret kurve og dermed anvende den på et konkret tilfælde. 

Håber du kan bruge svaret.

Til opg. 1:

Jeg har svaret at "Fordi der i opgaven oplyses, at der kan benyttes at, σ(U) = S er en regulær parametriseret flade (uden bevis), så vil de parametriserede kurver γ₁:]-1, 0[ -> R³ og γ₂: ]0, 1[ -> R³ defineret på ]0, 1[, ]-1, 0[ ⊆ R, således at ∀t∈]-1, 0[:γ₁⊂ S og ∀t∈]0, 1[:γ₂⊂ S være parametriserede kurver på S = σ(U). Disse kurver kan således skrives på formen γ₁ = σ ο μ₁:]-1, 0[ -> R³, hvor μ₁:]-1, 0[ -> U og γ₂ = σ ο μ₂:]0, 1[ -> R³, hvor μ₂:]0, 1[ -> U "

Jeg har fået at vide at dette bare er påstande, og at jeg derfor skal definere μ₁ og μ₂ passende og vise at γ|_(-1,0) = σ ο μ₁ og at γ|_(0,1) = σ ο μ₂.

Er der nogen der kan hjælpe mig med dette. Jeg forstår ikke helt hvad det er jeg skal.

Til opg. 2:

Jeg tror ikke jeg har forstået spg. Er der nogle der kan hjælpe mig med hvad jeg skal gøre. Jeg har fået at vide at integralet ikke bliver særlig pænt.

Jeg har kigget lidt på opgave 1 og kommet frem til:

Jeg definerer μ₁:]-1, 0[ -> U ved μ₁(t) = (u(t), v(t)) = (-t, -t) for -1 < t < 0 og får således at

     γ₁|_{(-1 ,0)} = σ ^_ο μ₁ = σ(μ₁(t)) = σ(-t, -t) = (-5t, 4√(1 - t²), 3√(1 - t²))

kan betragtes som en parametriseret kurve på σ(U).

Ligeledes hvis jeg definerer μ₂:]0, 1[ -> U ved μ₂(t) = (u(t), v(t)) = (t, t) for 0 < t < 1 og får således at

     γ₂|_{(0 ,1)} = σ ^_ο μ₂ = σ(μ₂(t)) = σ(t, t) = (5t, 4√(1 - t²), 3√(1 - t²))

kan betragtes som en parametriseret kurve på σ(U).

Derved er koefficienterne til γ₁ u'(t) = -1 og v'(t) = -1 og koef. til γ₂ u'(t) = 1 og v'(t) = 1

Er dette korrekt?

Jeg er stadig helt lost i opgave 2

Det du er kommet frem til i opgave 1, er rigtigt. Husk at skrive dem op som vektorer mht. til basen og , ellers vil du øjensynligt ikke blive godkendt af den rettende instruktor.

Med henhold til anden opgave:

Du skal bestemme integralet. Det er du skal stile efter. Hvis du kigger lidt rundt omkring i Curves and Surfaces, finder du måske at Definition 3.9.2, og altså vil der gælde at

Du kan derefter benytte Definition 3.9.1 der siger at

Det der mangler før du kan udføre dette integral er at indsætte i . Derefter er det bare at sætte ind jf. definitionenerne i slutningen af kapitel 3.

Håber det kan bruges, husk at argumenter for hvorfor du må bruge dette!

Opgave 1)

Hvordan skrive dem op, med hensyn til basen σ_u', σ_v'? Vil det sige at jeg skal differentiere de 2 udtryk (-5t, 4√(1 - t²), 3√(1 - t²)) og (-5t, 4√(1 - t²), 3√(1 - t²)) med hensyn til t?

Opgave 2)

Så jeg skal altså til sidst finde ψ = ψ-tilde ^_ο σ før jeg kan udregne integralet??

Jeg har fået at ψ(u,v) = 1/25² * (2 - 2v²)    [er dette korrekt?]

Og ved at benytte definition 3.9.2 og theorem 3.7 har jeg fået det udregnede integrale til 19/48   [er dette korrekt?]

Opgave 1)

Det har du næsten allerede gjort! Du mangler bare at bemærke at koefficienterne er hhv. (-1,-1) og (1,1) mht. basen .

Det var ikke for at forvirre, det må du undskylde.

Opgave 2)

Bemærk at . Det du skal finde er, hvis du kigger i definitionen at , og ikke tilde! Det du har fået er korrekt, da .

Det du har fået i integralet er desværre forkert. Du har sikkert kun beregnet , hvilket ikke er nok.

Du skal gange med .

Svaret, jeg får, i integralet er derfor .

Okay, jeg tjekker lige en gang til

Jeg har, efter at have benyttet definition 3.9.2, at

     ∫_σ(D) 1/25² * (2 - 2v²) dσ = ∫_D 1/25² * (2 - 2v²) * (EG - F²)^1/2 dA

Jeg har fået (EG - F²)^1/2 til (25²v²)/(1 - v²). Indsættes dette i overstående får jeg at

     ∫_D 1/25² * (2 - 2v²) * (EG - F²)^1/2 dA = ∫_D 2v² dA

Nu benytter jeg theorem 3.7 og får at

     ∫_D 2v² dA = ∫₁³ ∫_1/2^3/4 2v² dvdu = ∫₁³ 19/96 du = 19/48

Hvad gør jeg forkert?

Vent, jeg har glemt kvadratroden i det første udtryk XD.

Men er det ellers rigtig det jeg gør? og vil jeg komme frem til det samme som dig når jeg har medregnet den glemte kvadratrod?

Du vil komme frem til det samme som mig, hvis du husker kvadratroden, det burde du ihvertfald.

Det bliver et grimt udtryk, dog.

. Så burde den være der. Du gør det rigtige.

Er lige blevet færdig med at regne, og denne gang medtaget kvadratroden. Jeg har fået nøjagtig det samme som dig :).

Du skal have rigtig mange gange tak for hjælpen Drunkmunky :).

Bare lige 1 spg. til.

     ∫_D ψ ^_ο σ · (EG - F²)^1/2 dA

er det godt nok at svare at dette er formlen, eller skal jeg gå videre til dobbeltintegralet inden jeg finder den sammensatte ψ _^ο σ?

Jeg ville svare følgende:

Og efter at dette er opstillet, ville jeg bemærke mig at vi ville fortsætte udregningen af dette. (Du har i din udregning dit integral omvendt, men dette gør intet! Læs evt. definitionen eller starten på plaintegral kapitlet.

Håber du har fået svar på alle dine spørgsmål ;)

Det vil jeg mene jeg har. Igen mange tak :)

Okay. Jeg sidder lige og skriver opgaven ind, og jeg forstår ikke at jeg skal finde ψ ^_ο σ og ikke ψ-tilde ^_ο σ. Jeg kender jo ikke ψ, men derimod kender jeg ψ-tilde og det er jo netop i denne jeg indsætter udtrykket for σ for at nå frem til 1/25² * (2 - 2v²), er det ikke?

Hvis du læser definitionen af vores fladeintegral, så ser du at du skal have en funktion, som går fra ind i .

Ved at restringere til , så får du netop denne funktion. Altså er . Regneudtrykket ændrer sig ikke! Men du skal bare bemærke, at ved restringtionen, så får du altså netop den funktion der opfylder Definition 3.9.2. Opfylder ikke denne definition!

Ah, okay. Tak