bevis for primfaktoropløsning

Du går ud fra at n ikke kan skrives som et tal sammensat af primfaktorer men alle mindre tal kan. Ud fra det får du skrevet tallet som et produkt af primtal altså i modstrid med antagelsen om at det kunne det ikke

Hvis et tal ikke er sammensat er det et primtal ifølge definitionen på et primtal

Kan ikke få det til at give mening stadigvæk :S

altså jeg har forstået at n = a * b a, b er tilhørende N; 1 < a < n og 1 < b < n.

Dvs at a og b er mindre end n og kan opløses i primfaktorer hvorved det så også må betyde at n kan opløses i primfaktorer.

men jeg forstår ikke resten:
a = p1 * p2 * ... * ps
b = q1 * q2 * ... * qr
n = p1 * p2 * ... * ps * q1 * q2 * ... * qr

Der er en fejl i forlægget:

"Men hvis dette er tilfældet må det gælde at man kan opløse det i mere end 2 positive divisorer"

Nej - ikke "mere end 2" men "MINDST 2".

:-)

n kan jo godt opløses i primfaktorer? 

n = p1 * p2 * ... * ps * q1 * q2 * ... * qr

er p og q ikke forskellige primtal?

Man antager at n ikke kan opløses i primfaktorer, foretager nogle logiske slutninger og kommer dermed frem til at det kan den alligevel. Dermed kan antagelsen ikke holde

p og q behøver ikke at være forskellige; men kan selvfølgelig godt være det

når nu forstår jeh bedre :) tusind tak :))

nu bliver jeg lidt forvirret igen.. er p og q primtal eller divisorer til tallet m?

Du mener formentlig tallet n. Ja p'erne og q'erne er primtal, som er devisorer i n

tak :)

Her er den anden del af mit bevis, som jeg igen ikke forstår.

Bevis for primtals entydighed
Vi ønsker at vise at et sammensat tal kun kan opløses i primfaktorer på en måde. Dvs. at antallet af et primtal i opløsningen er det samme uanset hvordan man vælger at opløse tallet på.
Vi vil igen bevise dette på en indirekte måde, altså ved at antage at et sammensat tal kan opløses i primfaktorer på 2 måder, hvilket går imod vores påstand:

Vi antager at:
n > 1
n kan opløses i primfaktorer på 2 måder
n = p1 * p2 * ... * pr
n = q1 * q2 * ... * qs
Da de to primtals opløsninger giver det samme produkt n kan de sættes lig hinanden
p1 * p2 * ... * pr = q1 * q2 * ... * qs
Vi husker at vores hjælpesætning sagde at hvis et tal går op i produktet går det også op i en af faktorerne, hvilket vil sige at p1 går op i en af primfaktorerne på højre side. Dette kunne f.eks. være q2.
p1 | q2
Hvis dette er tilfældet må det gælde at
p1 = 1 og p1 = q2
men da 1 ikke er et primtal må det betyde at(MEN HVIS P1 = 1 OG Q2 IKKE ER LIG MED 1, SÅ KAN DE JO IKKE VÆRE LIG HINANDEN???)
p1 = q2
på denne måde kan man forsætte indtil de ene eller anden side ikke har flere primfaktorer tilbage. Det kunne f.eks. være venstre side. I sådan et tilfælde ville gælde at:
1 = q5 * q8
I dette tilfælde må q5 og q8 må være 1, hvorved vi har vist at primtallene i de to opløsninger er ens og forekommer det samme antal gange.

Okay, altså jeg forstår at vi antager at et sammensat tal, n, er større end 1 og vi antager at denne kan opløses i primfaktorer på 2 måder:

n = p1 * p2 * ... * pr
n = q1 * q2 * ... * qs

jeg forstår også at de derfor sættes lig hinanden fordi at begge giver n

p1 * p2 * ... * pr = q1 * q2 * ... * qs

men jeg forstår simpelthen ikke princippet med tallet 1??

Der er en fejl i det skrevne

Hvis dette er tilfældet må det gælde at
p1 = 1 og p1 = q2    skal være

Hvis dette er tilfældet må det gælde at
p1 = 1 eller p1 = q2

p1 er et primtal og derfor ikke 1. Der må derfor gælde at p1=q1

Nu forstår jeg.. 

Men hvorfor skal p1 enten give 1 eller q2 ?

hvorfor lige tallet 1 og ikke tallet 2 eller 3?

Please hjælp mig :( Har brugt hele dagen på dette bevis :(

#14

Det er givet, at både p₁ og q₂ er primtal. De eneste tal der går op i et primtal er 1 og tallet selv. Hvis tallet p₁ går op i primtallet q₂ , må p₁ derfor være enten 1 eller q₂ selv.

p1 går op i q2, som er et primtal. De eneste tal der går op i etprimtal er 1 og tallet selv så enten er p1=1 eller også er p1=q2

okay, nu forstår jeg også det.. men hvad så med den sidste del:

p1 = q2
på denne måde kan man forsætte indtil de ene eller anden side ikke har flere primfaktorer tilbage(MEN SÅ GÅR JO ALT UD MED ALT???). Det kunne f.eks. være venstre side. I sådan et tilfælde ville gælde at:
1 = q5 * q8 (HVORFOR GIVER DET NU 1???)
I dette tilfælde må q5 og q8 må være 1, hvorved vi har vist at primtallene i de to opløsninger er ens og forekommer det samme antal gange.

#17

De to produkter af primtal på hver side er lig med hinanden. Med den angivne metode er det muligt at knytte hver faktor på den ene side sammen med en faktor på den anden side. Hvis der ikke er lige mange faktorer på hver side, må man efter division nå frem til, at der står 1 på den ene side  af lighedstegnet og et produkt af nogle faktorer på den anden side. Men den eneste måde, hvorpå et produkt af hele tal kan være lig med 1, er den at hver af disse faktorer i produktet er lig med 1.

Jeg forstår det stadig ikke.

Altså er der ikke lige mange faktorer på hver side af lighedstegnet? Og hvis det er tilfældet så burde det jo ende med at alt går ud med alt og så er der 0 tilbage. Jeg forstår ikke hvorfor der skulle være 2 q'er tilbage og at produktet af dem skulle give 1?

okay har læst det du har skrevet igen.. jeg forstår godt hvad du mener, men så siger du: 

Men den eneste måde, hvorpå et produkt af hele tal kan være lig med 1, er den at hver af disse faktorer i produktet er lig med 1.

Dvs. de sidste 2 faktorer er ikke primtal ?