Help med lineær afbildning

Start med at afgør hvilken type afbiledning du sidder med?

Jeg er ikke helt med på hvad du mener. Jeg er jo en lineær afbildning, men det er sikkert ikke det du mener.

Altså du har en lineær afbildning:

 

Du har så en transformering Matrix

også har du den anden basis F(v1), F(v2), F(v3), så her handler det blot du skal lave en koordinat skift matrice udfra det du allerede ved.

Hvis A er et udtryk for den matrix der giver dig F(v) = A*v, så ønsker du at finde A således at:

F(v1)= (0 1 0)T, F(v2)= (1 0 0)T and F(v3)= (0 0 1)T

når du har:

v1= (1 0 0)T, v2= (1 1 0)T and v3= (1 1 1)T

Det giver dig så at:

F(V) = A*V hvor V = [v1 v2 v3] og F(V) = [F(v1) F(v2) F(v3)]

=> A = F(V)*V^-1 

Og så er det ellers bare at udregne A. 

 

Okay på den måde.

 

Således får jeg 

<0 1 -1>

<1 -1 0>

<0 0 1>

Som vi betegner som afbildningsmatricen, korrekt?

#5

Man har, at

A · [ v₁^T  v₂^T  v₃^T ] = [ F(v₁)^T  F(v₂)^T  F(v₃)^T ] ,

dvs

           1  1  1      0  1  0
A   ·    0  1  1  =  1  0  0
           0  0  1      0  0  1

Matricen, der ganges med på venstre side, er en øvre trekantsmatrix med determinant 1, og den er derfor let at invertere i hovedet, og man ender med A lig med den matrix, du har angivet i #5.

Tusind tak for hjælpen med denne opgave.

I forlængense af denne opgave skal jeg beskemme om afbildningsmatricen er nonsinguler og isometri.

Jeg kan godt indse at matricen er nonsinguler da Rangen=n=3

Men hvordan bestemmer jeg om den er isometri, og er det også det man kalder længde bevarende?

#7

Undersøg, om matricen er ortogonal med determinant ±1 .

#8

Kan du forklarer mig hvad relationen mellem om matrices er isometrisk og matricen er ortogonal med determinant 1/-1?

#9

Se, for eksempel, http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix

Reelle ortogonale matricer har nødvendigvis determinant +1 eller -1, så det er tilstrækkeligt at undersøge, om matricen er ortogonal.

Okay, så hvis jeg kan vise at den ikke ortogonal så er den heller ikke isometrisk.

#11

Ja, det er korrekt.

Så er det vel nok at vis at A^-1≠A^T. Eller har jeg misforstået noget?

Eller jeg kan også vise

A*A^T≠E

Er der nogen der kan henvise til en sætning der siger at hvis den ikke ortogonal så er den heller ikke isometrisk?

#14
Det burde ikke være nødvendigt da en isometrisk matrix er et fællesudtryk for matricer der er orthogonale eller unitære (det komplekse tilfælde af en isometrisk matrix. Orthogonale er det reelle tilfælde af en isometrisk matrix)

Tak for hjælpen alle...