Mat A, intergrering a ln(x)

                             _{partiel integration}
          ∫ ln(x)dx = ∫ (1 • ln(x))dx = x•ln(x) - ∫x•(1/x)dx = x•ln(x) - ∫dx = x•ln(x) - x + k         x>0

Hmm, glemte vist at nævne, at vi skal gøre det via substitution

brug substitutionen y=ln(x), x=e^y  dx = e^ydy

#2

Der er ikke noget mærkbart vundet ved at benytte en substitution som i #3. Man kommer ikke uden om også at skulle benytte partiel integration, og fremgangsmåden vist i #1 er den simpleste fremgangsmåde.

#2

substitution her er - som Andersen11 påpeger i #4 - "at gå over åen efter vand"

                   ∫ln(x)dx           x≥0

                           sæt
                                      ln(x) = u      hvoraf    x = e^u   og   dx = e^udu

                                                    _{partiel integration}
                    ∫ln(x)dx =  ∫u·e^udu = ∫e^u·u du = e^u·u - ∫e^udu = e^u·u - e^u + k = x·ln(x) - x + k
 

da der alligevel skal anvendes partiel integration for at beregne integralet.

Men hvis din lærer kræver substitution, så…
                                    

Ikke bare min lærer, men også censor.

i et af mine mundtlige spørgsmål jeg kan trække, skal jeg indrage en substitution.

Jeg er enig i at metoden i #1 giver mindre regnearbejde og jeg vil selv have anvendt den. Mit forslag i #3 er kun fremkommet fordi det skulle være substitution. Fremgangsmåden i #3 har en lille fordel hvis opgaven gives som hjemmeopgave. Det er ikke helt nemt at se, at man skal indføre den konstante funktion 1, som er væsentlig ved metoden i #1, og det slipper man jo for med metoden i #3

#6

Hvis det drejer sig om, at du selv kan vælge et eksempel, der belyser emnet integration ved substitution, så prøv et af disse eksempler

∫ sin²(x)·cos(x) dx

∫ e^{(x^5+2x^3)}·(5x⁴ + 6x²) dx

der kan klares ved at benytte substitution.

hvor du med
                      u = g(x)   og dermed   du = g '(x)dx

benytter
                               ∫f(g(x)) • g '(x) dx = ∫f(u) du = F(u) + k = F(g(x)) + k

eksempel:

           ∫ cos²(x) • sin(x) dx

                     sæt   u = cos(x)     og dermed     -du = sin(x)dx             jeg bruger oftest u, da t har det med
                                                                                                            at blive overset i et tætskrevet udtryk

   hvoraf

                      ∫ cos²(x) • sin(x) dx = - ∫u²du = -(1/3)•u³ + k = -(1/3)•cos³(x) + k
                                                                                              ^{efter tilbagesubstitution}

Nu lærte vi om Partiel integration igår ^^

Men tror min lærers argument for at bruge ln(x), var at vi har beviset for det er rigtigt bagefter.

En efterfølgende integrationsprøve - ved at differentiere de fundne stamfunktioner til ln(x) - har ikke noget med metoden til bestemmelse af stamfunktionerne til ln(x) at gøre.

Så det synes næppe at være argumentet for at bestemme stamfunktioner til ln(x) ved brug af substitutionsmetoden.