Matematik
normalfordeling, varians mm.
1. Normalfordelingen er meget brugt, og så vidt jeg kan se har dens spredning σ den egenskab, at uanset hvad den er, så ligger 68% af normalfordelte inden for σ. Det er lige præcis det her med, at denne egenskab er uafhængig af σ som undrer mig. Det betyder jo at integralet:
1/√(2πσ2) ∫ exp((x-μ)/(2σ2))dx, hvor grænserne løber fra μ-σ til μ+σ
er uafhængigt af σ. Hvordan viser man dettte? - så vidt jeg ved findes der ikke nogen stamfunktion til ovennævnte funktion, og jeg har kun set det evalueret analytisk fra -∞ til ∞, hvilket jo ikke er tilfældet her.
2. Den gode egenskab ved spredningen for normalfordelingen nævnt ovenfor, ser ikke ud til at gå igen i andre fordelinger. For binomialfordelingen er spredningen f.eks. σ=√(Np(1-p)) (eller noget i den retning) og her er det ikke sådan, at der altid uafhængigt af σ ligger et bestemt procenttal inden for μ±σ. Så hvad skal man overhovedet bruge variansen til i dette tilfælde? (og tilfældet ved andre fordelinger, f.eks. Poisson).
Svar #1
26. juli 2013 af Andersen11 (Slettet)
Man skal se på integralet
J = 1/√(2πσ2) μ-σ∫μ+σ exp(-(x-μ)2/(2σ2)) dx ,
hvor substitutionen t = x-μ transformerer integralet til
J = 1/√(2πσ2) -σ∫σ exp(-t2/(2σ2)) dt ,
og substitutionen u = t/σ fører det til
J = 1/√(2π) -1∫1 exp(-u2/(2)) du = erf(1/√2) ≈ 0,682689 ,
der klart er uafhængigt af σ
Skriv et svar til: normalfordeling, varians mm.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.