asymptoter

Foretag en polynomial division så du får skrevet f(x) = p(x) +k/(5x-15) hvor k er en konstant. k/(5x-5) -> 0 for x->∞ og p(x) er en lineær funktion så y=p(x) er en ligning for asymptoten

undskyld, men det forstod jeg ikke :-(

Hvad forstår du ikke ? Kender du ikke til ponomiers division ?

nej desværre

I dette tilfælde er det nemmest at omskrive nævneren til 5(x-3) og nøjes med at dividere tællerpolynomiet med x-3. Divisionen med 5 skal så foretages til sidst.

Du skal gange de x-3 med en faktor så du få det samme som leddet med højeste grad. Her er det 2x² så du skal gange med 2x. 2x(x-3) = 2x²-6x Det trækker du så fra tællerpolynomiet altså 2x2-14x+24 -(2x2-6x = hvilket giver -8x+24.   Derefter fortsætter du med divisionen ved at finde faktoren gange den på de x-3 og trækker fra

Denne video kan måske hjælpe med at uddybe, hvad peter lind forklarer i #5:

https://www.youtube.com/watch?v=FXgV9ySNusc

Efter den polynomiale division burde du få, at f(x) rent faktisk er en linear funktion (stik modsat intuitionen) givet ved

      f(x) = (2x - 8) / 5

og derfor har en skrå asymptote p(x) givet ved samme forskrift som funktionen selv.  

f(x) = (2x2-14x+24)/(5x-15)

= (x^2-7x+12) / 5(x-3)
 

= (x-3)(x-4) / 5(x-3)
 

= (x-4) / 5
 

= 1/5 * x - 4/5

f(x) er altså en ret linie og har derfor INGEN asymptote

Skitse vedhæftet

:-)

#8

Faktoren 2 ser ud til at forsvinde fra tælleren:

f(x) = (2x² -14x +24) / (5x-15)

       = 2·(x-3)·(x-4) / (5·(x-3))

       = 2·(x-4) / 5 , x ≠ 3

Forbeholdet x ≠ 3 er nødvendigt, idet funktionen f(x) ikke er defineret for x = 3 .

- Yes - jeg glemte 2-tallet i # 8
 

Her kommer den rigtige f(x) . . .
 

f(x) = (2x2-14x+24)/(5x-15)
 

= (x^2-7x+12) / 2*5(x-3)
 

= (x-3)(x-4) / 2,5(x-3)
 

= (x-4) / 2,5
 

= 2x/5 - 8/5
 

f(x) er altså en ret linie og har derfor INGEN asymptote
 

Den tidligere skitse var korrekt
 

:-)
 

#10

Som nævnt i #9 er funktionen f(x) ikke defineret for x = 3, og det er derfor ikke helt korrekt, at funktionens graf er en ret linie. Grafen er den rette linie med ligningen y = (2/5)x - 8/5, hvorfra punktet (3 ; -2/5) er fjernet.

# 10

f(x) er således ikke helt en ret linie

- men har ikke desto mindre ingen asymptote

(q.e.d. jvnf. opgaveteksten)

:-)

#12

Afhængigt af, hvordan man præcist definerer en asymptote, kan man sikkert argumentere for, at grafen for funktionen f(x) har linien med ligningen y = (2/5)x - 8/5 som asymptote, eftersom afstanden mellem funktionens graf og linien jo er nul for alle x ≠ 3 , og afstanden mellem funktionens graf og linien derfor går mod 0 for x → ±∞ . Dette er også nævnt i #7.

Wikipedia:

I geometrien er en asymptote for en kurve en måde at beskrive kurvens forløb på langt væk fra udgangspunktet ved at sammenligne den med en anden kurve. Kurven nærmer sig asymptoten, den anden kurve, uden nogensinde at nå den.

:-)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptote+definition