Inertimoment

#0: Generelt beregnes inertimoment:   I = ∫ r² dm , hvor m er massen.

Hvordan er omdrejningsaksen placeret i forhold til røret ?

Hvordan varierer t_n ?  Varierer D, d eller begge ?

Der findes de mest mærkværdige legemer, som man skal beregne inertimomentet for, og formler for alle disse, kan ikke indeholdes i "gummibiblen". Brug noget integralregning, så er du dækket ind.

Med en varierende tykkelse er der næppe nogen færdig formel, så der er ikke anden mulighed end at integrere, som foreslået i #1

#1 og #2

Omdrejningsaksen er langs rørets centrum - ligesom når du skærer den halve del over.

Den ydre diameter varierer ikke (D = 1620 mm), men det gør den indre diameter, idet tykkelsen t_n varierer fra 6, 8, 10 og op til 12 mm afhængig af rørets længde. Tykkelsen er 6 mm for længden 0-22,7 m, 8 mm for længden 22,7-36,7 m, 10 mm for længden 36,7-42,7 m og endelig 12 mm for længden 42,7-48,7 m.

Formålet med opslaget er også at finde ud af, hvorfor lærebogen bruger formlen angivet i #0.

Det skal lige tilføjes, at formlen angivet i #0 kun er brugt til at finde inertimomenterne i hver delstrækning (se #3). Det er egentlig også dét jeg er interesseret i at finde, nemlig intertimomentet i hver delstrækning.

#3 + #4: Tja, men så er det jo bare at addere 4 integraler ( undervisitet/videregående ).

Et fuldstændigt symmetrisk integrale omkring en akse, bestående af et rør er "a piece of cake".

( Jeg håner dig ikke, men kom nu ).    :)   Altså, sig: Jeg gider ikke at bruge tid på formelopslag, jeg regner det selv ud.

#4

Hvis den indre diameter d er næsten lig med den ydre diameter D, har man

I_x = (π/64) · (D⁴ - d⁴)

    = (π/64) · (D - d) · (D³ + D²d + Dd² + d³)

    ≈ (π/64) · 2t · 4D³

    = (π/8) · D³ · t ,

hvor t = (D - d)/2

#6:  Tja, så fik du "løst" problemet:  Rørformet, hvor d ≈ D, hvad med andre tilfælde ?  Andre legemer ?

#7

Jeg forsøgte nu kun at besvare det konkrete spørgsmål, der var stillet i #0 og gentaget i #3.

#8:  Det er ikke specielt dig, jeg klandrer  -  langtfra, men SP anbefaler jo hjælp til selvhjælp ( jeg prøver selv at overholde dette, i harmoni med min egen indstilling ), men det irriterer mig blot, at nogle svarere skriver facit, klar til afskrift, og jeg tror såmænd ikke, at man lærer noget af dette, generelt.   :)

Til eksamen får eksaminanderne blot et tilsvarende spørgsmål med et firkantet rør, og de er "på den".

#6

Mange tak!

#9

Problemet er ikke at anvende formlen du nævner i #1, men derimod finde ud af, hvilken antagelse, der ligger bag reduktionen i #0. Ud fra #6 kan vi se, at det var D ≈ d.

- og ja, det er "piece of cake" at arbejde med et fuldstændigt symmetrisk integrale omkring en akse, men hvad hvis lærebogen ikke giver nøjagtigt det samme resultat? Det er netop det, jeg lige har fået afklaret.

#6

Hvordan kom du fra:

I_x = (π/64) · (D - d) · (D³ + D²d + Dd² + d³)

til:

I_x ≈ (π/64) · 2t · 4D³?

#11

Ved at antage, som det blev nævnt i #6, at d og D er næsten lige store, dvs, at t = D - d er lille i forhold til d og D. Man antager, at i summen er d = D. Så er

I_x = (π/64) · (D - d) · (D³ + D²d + Dd² + d³)

    = (π/64) · 2t · (D³ + D²·D + D·D² + D³)

    = (π/64) · 2t · 4D³

    = (π/8) · t · D³

Udtrykket er korrekt til 1. orden i t.

#12

Tak for det.

Hvad mener du med, at "udtrykket er korrekt til 1. orden i t"?