Kontinuitet

Det betyder, at funktionen ikke er kontinuert for x = 3, og den er heller ikke kontinuert for x = 1.

Grafen kan have spring disse steder.

Når dit CAS-program laver grafer, laver den en hel masse prikker, hvis den ikke er kontinuert i x=3 og x=1, så laver den ingen prik de to steder hvor den ikke er kontinuert..

Kunne den for eksempel se sådan ud, som denne her:

#4

Den viste funktion er hverken kontinuert i 1 eller i 3, men en funktion, der ikke er defineret på ]1;3[ kan aldrig være kontinuert i disse to punkter.

Der giver først mening i den tænkte sammenhæng, når der også er en grafdel for intervallet ]1;3] .

Man kan kun tale om kontinuitet i et punkt, når funktionen er defineret i en åben omegn omkring punktet.

#4 Man kan ikke tegne det. Det er i punkterne (3,f(3)) og (1,f(1)) hvor der ikke er nogen prik...

Grunden til at man ikke kan tegne, (og se det), er fordi; (eksempel med (3,f(3)) ) man kan tegne prikker helt hen til x=2,999... og videre derudad, og 3,0000...1 med uendelig mange nuller... Derfor kan man ikke se det eller tegne det..

# 4
Et eksempel på en funktion, som overalt er defineret, men ikke er kontinuert
for heltallige x samt 0 , er funktionen
x  |→  [ x ]       hvor den kantede parentes betyder "den hele del af x" ,
hvilket betyder, at       x - 1 < [ x ] ≤ x 

Guldkorn: Det er også relevant at funktion ikke har noget grænseværdi i punket 1 og 3. Dvs.

x →1^-  lim f(x) = 1 men for x →1⁺ lim(fx) = 3 og da grænseværdi skal være den samme fra højre og venstre kan man sige at funktion ikke er differentiabel i de punkter.

#8

Nej, det er ikke relevant for diskussionen om kontinuitet. Grænseværdierne kan sagtens eksistere uden at funktionen er kontinuert.

Funktionen

f(x) = x , for x ≠ 1 ,
f(x) = 2 , for x = 1

er ikke kontinuert for x = 1, men grænseværdien eksisterer for x --> 1 fra højre og venstre. Funktionen er ikke differentiabel for x = 1, da den ikke er kontinuert for x = 1.

#9

Det er ikke relevant for kontinuitet men vigtigt for funktionsanalyse. Jeg forstår ikke hvorfor min uni lærer siger så explicit at, hvis der skal eksistere grænseværdi som skal være den samme fra begge sider for at funktionen skal være differentiabel i det givne punkt.

Enten har læreren ikke formuleret sig godt eller også har jeg misforstået noget. Muligvis begge dele hehe

#10

Det er da også korrekt, at grænseværdien skal eksistere fra højre og venstre side for at funktionen kan være differentiabel i punktet. Desuden skal funktionen også være kontinuert i punktet.

Men i denne tråd drejede diskussionen sig om kontinuitet.

Jeg blandet tingene sammen, det giver perfekt menning nu.

blander'

Mange tak for hjælpen