Matematik
Vektor, længde og udregning af vinkel
Jeg har fået stillet en opgave der lyder således:
Om to vektorer a og b gælder at:
|a| = 2, |b| = 3 og v mellem a og b = 60 grader.
Beregn skalarproduktet. Det får jeg til 3.
Beregn længden af vektoren 2a + b samt vinklen mellem denne vektor og vektoren a.
Jeg får |2a + b| til 7 ved |2a + b| = sqrt(2a + b) = sqrt(4|a|^2 +|b|^2 + 4|a||b|) = sqrt(4*2^2+3^2+4*2*3) = sqrt(49) = 7
men jeg kan ikke finde ud at udregne vinklen mellem a og 2a + b.
Hvordan kan man gøre det udelukkende ud fra to længder?
Hvad overser jeg?
Håber I kan hjælpe!
Med venlig hilsen
Nicolai
Svar #1
31. oktober 2005 af | Sveegaard | (Slettet)
Svar #3
31. oktober 2005 af Trajkovski (Slettet)
Tak for de hurtige svar!
Ja jeg har også kigget på den formel Sveegaard, men jeg har da ikke noget skalarprodukt?
Svar #5
31. oktober 2005 af Trajkovski (Slettet)
Troede lige jeg havde overset noget og det så var indlysende nemt :)
Nogle andre gode idéer?
Svar #7
31. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
|a|^2 = a*a
samt velkendte egenskaber ved skalarproduktet,
(1) a*b = b*a
(2) a*(tb) = (ta)*b = t(a*b), for alle t.
(3) a*(b + c) = a*b + a*c
får vi
|2a + b|^2 =
(2a + b)*(2a + b) =
4|a|^2 + |b|^2 + 4(a*b) =
4(2^2) + 3^2 + 4(3) =
37
Heraf ses, at |2a + b| = sqrt(37).
Til fastlæggelse af vinklen (lad os sige u) mellem vektorerne a og 2a + b haves
a*(2a + b) = 2|a|^2 + a*b
ifølge (2) og (3). Dernæst er det en smal sag at bestemme u ved at benytte relationen
cos(u) = a*(2a + b)/(|a||2a + b|)
//Epsilon
Svar #8
01. november 2005 af Trajkovski (Slettet)
Tak for svaret!
Nu kan det meget vel være fordi, jeg er træt, men jeg forstår ikke helt, hvordan du udleder "a*(2a + b) = 2|a|^2 + a*b" og "cos(u) = a*(2a + b)/(|a||2a + b|)".
Kunne du muligvis lave en udregning for vinklen, da jeg heller ikke rigtig kan finde ud af at sætte ind i ligningen (a =?, 2a +b =? hvis de ikke er længderne).
Og ja... Du har vist ret i at vektoren gange en anden vektor er prikproduktet :)
Svar #9
01. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Vi bruger (2) og (3) i #7 og får dermed, at
a*(2a + b) =
(2a)*a + a*b =
2(a*a) + a*b =
2|a|^2 + a*b
Tydeligere bliver det ikke; |a| og a*b kender du fra tidligere i opgaven.
Vinklen v mellem to vektorer, a og b er som bekendt helt generelt bestemt ved relationen
cos(v) = a*b/(|a||b|) (*)
Vinklen u mellem vektorerne a og 2a + b er således
cos(u) = a*(2a + b)/(|a||2a + b|)
Måske er det nemmere at huske i ord:
"cosinus til vinklen mellem to vektorer er skalarproduktet af vektorerne delt med produktet af vektorernes længder."
//Epsilon
Svar #10
01. november 2005 af Trajkovski (Slettet)
Nu tror jeg jeg er med! :)
Mange tak for hjælpen - så bliver der også lidt at regne på i morgen...
Skriv et svar til: Vektor, længde og udregning af vinkel
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.