Matematik

Voksende funktion

27. oktober 2003 af Niels (Slettet)

JEg har en funktion
f(t)=1,00-0,60*0,90^t
t skal være større eller lig med 0

Jeg skal så gøre rede for at funktionen er voksende og har en asymptote.

Hvis jeg differentierer og løser lig med 0 får jeg jo ingen løsninger.
Hvis jeg så sætter en værdi ind i den differentiere får jeg jo en positiv værdi og kan så sige den er positiv i hele intervallet fordi den er kontinuert. Men dette plejer min lærer ikke at være helt tilfreds med.
Mit forslag er så at man kan finde grænseværdi for t gående imod uendeligt og 0 og så argumentere med at den er kontinuert. Men der kunne vel (det er er jo godt nok ikke) være noget lusket udsving som man ikke lige kan se (ville min lærer nok sige)

Derfor: Er der der har en god argumentation for hvorfor den er voksende.

mht. til asymptoten kan jeg jo bare finde grænseværdi for t gående imod uendeligt (passer det ikke) og det har jeg jo (hvis jeg bruger min metode foroven) allerede fundet. Så derfor tænkte jeg det godt kunne hænge sammen

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. oktober 2003 af Jean

Du skal vise at f' er positiv for alle t større lig 0.

Du kan ikke bruge at den er kontinuert til noget, lige her. Man kunne jo godt tænke sig en funktion som var både voksende og aftagende men altid større lig 0. (f.eks. x |-> cos (x) + 1).

Hvis du har at din funktion er kontinuert betyder det jo groft sagt at den ikke svinger for meget, derfor kan du sagtens bare lade t gå mod uendelig og finde grænseværdien.

Svar #2
27. oktober 2003 af Niels (Slettet)

Har du så et forslag.
Normalt differentierer man jo bare og finder nulpunkter. HEr er der jo, som jeg har skrevet, ingen løsninger og når man så finde en y-værdi får man jo et positivt tal.
Men dette kan jeg huske min lærer ikke accepterer som bevis nok, og jeg kan ikke lige finde et eksempel

Svar #3
27. oktober 2003 af Niels (Slettet)

Har selv fundet ud af den første. Da Vm(f) for en potensfunktion er R(+)må den aflede jo være over x-aksen hele tiden og dermed er funktionen voksende.

Jeg har nu blot problemer med asymptoten.
Hvordan kan jeg bevise den har en.
Kan sagtens finde men men kniber lidt med at begrunde.

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. oktober 2003 af 404error (Slettet)

Vandret asymptote y=1 da:

0,60*0,90^t->0, t-> uendelig.

Svar #5
27. oktober 2003 af Niels (Slettet)

Har ikke regnet den første af ligevel.
Det at R(+) gælder jo kun for potensfunktioner og jeg har jo en eksponentialfunktion.

Håber stadigævk på hjælp

Svar #6
27. oktober 2003 af Niels (Slettet)

404error
du må gerne uddybe lidt, fik ikke lige den

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. oktober 2003 af 404error (Slettet)

Definitionen på en asymptote er jo, at f er asymptotisk lig en ret linie. Med andre ord

f(t)->at+b, for t->uendelig,

for passende a og b. I dit tilfælde ser du, at

0,60*0,90^t->0, for t->uendelig,

da 0,90^t går mod nul.

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. oktober 2003 af Jean

Niels skrev:
"Normalt differentierer man jo bare og finder nulpunkter."

Jeg tror du tænker på at finde ekstremumspunkter her. For at vise at en funktion er voksende skal du vise noget om fortegnet på den afledede.

Altså differentier f(x) og vis at f'(x) >= 0 for alle x.

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. oktober 2003 af 404error (Slettet)

"Hvis jeg differentierer og løser lig med 0 får jeg jo ingen løsninger. Hvis jeg så sætter en værdi ind i den differentierede får jeg jo en positiv værdi og kan så sige den er positiv i hele intervallet fordi den er kontinuert."

Hm; i modsætning til din lærer finder jeg efter lidt overvejelser dette argument rimeligt nok (dog følger det ikke direkte af "kendte sætninger"). Nogen, der kan give modeksempel?

Brugbart svar (0)

Svar #10
27. oktober 2003 af Jean

Nej dette er rigtigt nok, det er der også en sætning for (Kan dog ikke huske hvilken). Det giver jo god mening bare at betragte den afledte som en kontinuert funktion.

Brugbart svar (0)

Svar #11
27. oktober 2003 af 404error (Slettet)

Er der en sætning for det? Argumentet er nemt, hvis f er defineret på et kompakt interval; så følger resultatet ved anvendelse af Bolzano's sætning. Hvis f er defineret på en mere generel sammenhængende mængde bliver det vist lidt sværere..

Brugbart svar (0)

Svar #12
27. oktober 2003 af Jean

Den tænker jeg lige over... Jeg tænkte selvfølgelig også på kompakte intervaller.

Brugbart svar (0)

Svar #13
27. oktober 2003 af Brian (Slettet)

Niels skrev:

"Har selv fundet ud af den første. Da Vm(f) for en potensfunktion er R(+)må den aflede jo være over x-aksen hele tiden og dermed er funktionen voksende".

Du forveksler potens- og ekponential-funktioner! Din f' er en eksponentialfunktion, og du havde ret i at sådanne altid er positive (faktisk på hele R lige meget hvad) - så dette enkle argument var altså godt nok.

Et eksempel på en potensfunktion er x |-> x^3. Den kan jo både give noget positivt og noget negativt (på hele R). Du har ret i at alle potensfunktioner altid er positive, hvis vi kun ser på dem i R+

Skriv et svar til: Voksende funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.