Plan i rummet.

a)

     en normalvektor til planen α: n = AB × AC

     en ligning for α: n • AP = 0 hvor P(x,y.z) er et vilkårligt punkt i planen

b)

     arealet af ΔABC: A = (1/2)·|AB × AC|

c)

     er afstanden fra kuglens centrum til α lig kuglens radius, vil planen tangere kuglen.
     altså hvis dist(D,α) = 11, er α en tangentplan til kuglen med centrum i D(0,10,5) og radius 11

Prøver lige at illustrere hvad jeg har gjort indtil videre:

a) Bestem en ligning for planen α.

For at bestemme ligningen for planen α, skal man gøre brug af normalvektoren n til planen, og et punkt P₀ i planen. Da P(x,y,z) er et vilkårligt (løbende) punkt i planen, er planen ligning givet ved: 

P₀P ⊥ vektor n ⇔ P₀P · vektor n = 0 ⇔ (x-x_{o ,} y-y_o , z-z_o) · (a,b,c) = 0 

Planen udspændes da af to vektorer AB og AC. En normalvektor til planen α, må derfor være: 

vektor n = AB · AC 

Vi får, at: 

vektor n = vektor AB = (0-6 , 2-0 , 0-0) = (-6,2,0) = vektor AB

vektor n = vektor AC = (0-6 , 0-0 , 3-0) = (-6,0,3) = vektor AC 

vektor n = (-6·-6 , 2·0 , 0·3) = (36,0,0) Virker forkert her ? 

Ect. 

Tak for hurtigt svar, kan du se hvad jeg gør forkert her ? 

#3

a)

Først findes to ikke-parallelle eller vindskæve retningsvektorer for planen

     AB = [0 - 6, 2 - 0, 0 - 0] = [- 6, 2, 0]

     AC = [0 - 6, 0 - 0, 3 - 0] = [-6, 0, 3]

Dernæst findes en normalvektor for planen

      n = AB × AC = [2·3 - 0·0, 0·(-6) - 3·(-6), (-6)·0 - (-6)·2] = [6, 18, 12]

.. og planens ligning

             n • AP = 0

             [6, 18, 12] • [x + 6, y - 2, z - 3] = 0

             6x + 36 + 18y - 36 + 12z - 36 = 0

             6x + 18y + 12z - 36 = 0

Okeeey, tusinde tak. :) 

Kan se det nu. ;)

#4

Punktet A har koordinatsættet A(6,0,0) . En ligning for planen α er derfor

n • AP = 0 , dvs

6·[1 , 3 , 2] • [x-6 , y-0 , z-0] = 0 , eller

x-6 + 3y + 2z = 0, dvs

x + 3y + 2z - 6 = 0

Du får stadig den korrekte ligning for planen, fordi du har benyttet ligningen

n • (AP - AB - AC) = 0

#6

godt du så det :)