Løsning af ligningssystemer med ukendte koefficienter

Der er ikke tale om, at koefficienterne er ukendte. Der er tale om at undersøge løsningerne til et ligningssystem, når man varierer en parameter i koefficientmatricen.

a) Det er vel klart, at x₁ = x₂ = x₃ = 0 er en løsning, og da ligningssystemets determinant ikke er lig med 0, er der kun denne ene løsning.

b) Beregn determinanten for ligningssystemets matrix som funktion af parameteren a. Undersøg, for hvilke værdier af a bliver determinanten lig med 0. Løs ligningssystemet særskilt for den eller disse værdier af a.

c) De værdier af a, for hvilke A har en invers, er de værdier af a, for hvilke matricens determinant er forskellig fra 0.

c) solve(-a^3+3*a+2 = 0, a) a=2 eller a=-1 
dvs. svaret er, at værdien af a er alle reelle tal undtagen a=2 eller a=-1 eftersom determinaten bliver 0 med disse a værdier?

#3

Ja.

Jeg får disse to parametre i b). 

     <x1,x2,x3>=t*<-1,-1,1>
     <x1,x2,x3>=t*<-1+1,1,1>

Kan det passe?

#5

Man skal betragte de to tilfælde a = 2 og a = -1 særskilt. Når a er forskellig fra begge disse værdier er der kun een løsning.

Jeg er ikke helt med :/

b) Beregn determinanten for ligningssystemets matrix som funktion af parameteren a:

-a^3+3*a+2

 Undersøg, for hvilke værdier af a bliver determinanten lig med 0.

solve(-a^3+3*a+2 = 0, a) a=2 eller a=-1 

Løs ligningssystemet særskilt for den eller disse værdier af a.

a=2 indsættes i Matrix A. Derefter LinearSolve(A) på maple
a=-1 indsættes i Matrix A. Derefter LinearSolve(A) på maple

#8

Man kan da løse ligningerne i hånden. Opskriv ligningssystemerne i de to tilfælde.

a=2 
x^1-2x^2-x^3=0

3x^2+3x^3=0

Det giver stadig det samme svar som maple?

#10

Der er ikke tale om eksponenter, men om indices.

For a = 2 har man ligningssystemet

(i)      x₁ - 2x₂ -   x₃ = 0
(ii)     x₁ + x₂ + 2x₃ = 0
(iii)  2x₁  - x₂ +   x₃ = 0

Man ser, at (iii) = (i) + (ii), så man kan benytte for eksempel x₁ som parameter og så løse for x₂ og x₃ udtrykt ved x₁ . Man har så

x₃ = -x₁ og x₂ = x₁ .

Det er svaret?

Forresten, tusind tak for hjælpen! :-)

#13

Det er svaret for a = 2. For a = -1 har man ligningssystemet

(i)      x₁ + x₂ -  x₃ = 0
(ii)     x₁ + x₂ -  x₃ = 0
(iii)   -x₁  - x₂ + x₃ = 0

Man ser, at de tre ligninger koges ned til den ene ligning

(i)      x₁ + x₂ -  x₃ = 0

hvor man kan udtrykke for eksempel x₁ ved parametrene x₂ og x₃ .

For a = 2 er løsningsrummet 1-dimensionalt. For a = -1 er løsningsrummet 2-dimensionalt.

#14

Så svaret for a=-1 er

x_3=2x_1 og x_2=x_1
      

#15

Nej. Svaret er, for a = -1, for eksempel

x₁ = -x₂ + x₃ .

Tusind tak!! :-)
 Lige et sidste spørgsmål: Hvilken sammenhæng har en matrices determinant og løsning? 

#17

Hvis det(A) ≠ 0 er der netop een løsning. Hvis det(A) = 0, kan der være ingen eller uendeligt mange løsninger.

I skal alle have mange tak for hjælpen. Det har været en god hjælp og forståelse:)