Matematik

Vektorer

05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Når m er givet ved (3;2) + t(4;2) og vektor c er givet vved (2;3) og jeg skal finde projektionen af c på m, hvordan gør jeg så? Skal jeg bruge retningsvektoren eller normalvektoren til m?

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Først og fremmest: tegn en ledsagende figur.

Projektionen af c på m er ganske enkelt projektionen af c på en retningsvektor for linjen m. Projektionsformlen skulle kunne løse opgaven uden større besvær.

//Epsilon

Svar #2
05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Ok, ser dette korrekt ud?

c_m = ((3*4+2*2)/(sqrt(3^2+2^2)^2))*(2;3) = 16/13 * (2;3) = (32/13;39/13)?

En anden ting - hvis jeg vil tegne figuren, hvad er retningsvektoren så udtryk for? Samt skal jeg da bare føre en linie fra c, som står vinkelret på m?

Svar #3
05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Glem det, jeg fandt simpelthen ud af det hele selv. Tak for hjælpen!

Svar #4
05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Dog har et andet vektor-relateret problem, som jeg håber du kan hjælpe med. Punkt A(-2;2), B(3;2) og C er givet ved (-3+t;-4+2t). Trekant ABC skal have arealet 25, men hvad kan jeg gøre for at bestemme koordinaterne til C?

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:
Igen: ledsagende figur.

Punkterne A og B er faste, mens placeringen af C afhænger af parameteren t (af parametriseringen ses, at C bevæger sig på en ret linje, når t gennemløber R; de reelle tal).

Arealet af trekant ABC må derfor afhænge af t. Bemærk dog, at der er en værdi af t for hvilken A, B og C ikke er hjørnepunkter i en trekant (hvilken t-værdi og hvorfor?).

I kender vel en vektorteoretisk størrelse, som bestemmer arealet af parallelogrammet udspændt af vektorparret (AB,AC). Udnyt det til at bestemme et udtryk for arealet af trekant ABC.

//Epsilon

Svar #6
05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Hmm, jeg tror at jeg nogenlunde kan følge dig. Araelet ved jeg kan findes som A_v = 1/2 * det(a,b), men hvordan skal dette forbindes med resten?

Svar #7
05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

- eller jeg burde spørge om hvilke vektorer jeg skal bruge? Jeg kan vel vælge mellem A,B og C? 25 = 1/2 * det(?,?)

Svar #8
05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Åh undskyld, jeg læste ikke dit indlæg korrekt. Vektor AB og AC selvfølgelig.. så er resten jo ligningsløsning. Hvis vi benytter tallene ovenfor (Punkt A(-2;2), B(3;2) og C er givet ved (-3+t;-4+2t)), ser ligningen således ud?

Vektor AB = (5;0), vektor AC = (-1+t;-6+2t).

25 = -30+10t - 0, hvor t=5,5?

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#8:
Nej, du skal lige tænke dig ordentligt om. Vektorerne AB og AC er korrekt bestemt, men arealet A_t af trekant ABC involverer den numeriske værdi af determinanten af vektorparret (AB,AC),

A_t = 1/2*|det(AB,AC)|.

Derfor ledes vi til at løse

|det(AB,AC)| = 50,

Betragter man situationens geometri, er det ikke overraskende, at to distinkte værdier af t (svarende til to mulige placeringer af C) vil give anledning til samme areal.

Med lidt grundlæggende kendskab til kontinuerte funktioner kan man indse, at der er netop to løsninger.

Arealfunktionen A_t er

- kontinuert
- (strengt) aftagende for t =
- (strengt) voksende for t >= 3,

og da arealet er 0 for t = 3, vil ligningen

A_t = 25

derfor have præcis to løsninger. Hvad sker der egentlig rent geometrisk, når t -> 3?

//Epsilon

Svar #10
05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Hvorledes skal den anden løsning findes? Er det blot den numeriske værdi af t_1?

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#10:
Nej. Ligningen

|det(AB,AC)| = 50

er jo ækvivalent med to ligninger;

det(AB,AC) = 50 v det(AB,AC) = -50

Hver af disse løses med hensyn til t, hvilket efterfølgende omsættes til de to mulige placeringer af punktet C for hvilke, A_t = 25.

//Epsilon

Svar #12
05. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

jeg siger mange tak!

Skriv et svar til: Vektorer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.