Bevis

Jeg skal bevise sætningen for separation af de variable, jeg har gjort det ved hjælp af en række omskrivninger, men jeg har et spørgsmål (som kommer til sidst).  Jeg skal bevise, at hvis y=f(x) er en løsning til dy/dx=g(y)h(x), så er y=f(x) også en løsning til ∫1/g(y)dy=∫h(x)dx.

her er beviset:

Forudsat at h og 1/g(y) er kontinuerte samt g(y) er forskellig fra 0, så kan vi lave nogle omskrivninger ved antagelse af, at  y=f(x) er en løsning:

y' = g(y)h(x) ⇔ f'(x) = g(f(x))h(x) ⇔ 1/g(f(x)) f^'(x)=h(x)⇔ ∫1/g(f(x))f^'(x)dx=∫h(x)dx

Jeg substituerer y=f(x) og dy=f'(x)dx:

∫1/g(y) dy=∫h(x)dx

Ved disse omskrivninger, har jeg vist at 

dy/dx=g(y)h(x) ⇔  ∫1/g(y)dy=∫h(x)dx

Hertil har jeg kun bevist den ene vej, altså at en løsning til dy/dx=g(y)h(x)  er også løsning til ∫1/g(y)dy=∫h(x)dx. Hvordan argumenterer jeg for at en løsning til ∫1/g(y)dy=∫h(x)dx også er en løsning til dy/dx=g(y)h(x) , dvs. at den anden 'vej' også gælder?