Matematik

Vektor

14. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Når |a|=5 og |b|=2 og vinklen derimellem er 30 grader, hvorledes finder jeg så værdien t, for hvilke A_parallelogram = 20? Parallelogrammet udspændes af vektor a og a+tb

Svar #1
14. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Jeg ved at det(a;a+tb) = 20, but hvorledes kan jeg finde længden af a+tb for at løse dette?

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. november 2005 af Lil_mermaid (Slettet)

Du finder
cosA*|a|= højden
cos(30)*5=4,33

Højden*tb=A
Herfra kan du isolere t:
4,33*2t=20

Svar #3
14. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Er der ingen anden måde udover trigenometri?

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. november 2005 af sigmund (Slettet)

Længden af krydproduktet mellem a og a+tb er lig arealet af parallellogrammet. Dvs. at (a) x (a+tb) = 20.

Svar #5
14. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Det forudsætter at vinklen mellem dem er 90? - men det er vel hvis det(a;a+tb) = |a||a+tb|*sinv

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. november 2005 af sigmund (Slettet)

Jeg citerer fra Definition 4.10, s. 125 i (1) [se kilde nederst]:

(...)
3. Længden af [a] x [b] skal være lig med arealet af det parallelogram, der har [a] og [b] som sider, dvs. [|a x b|=|a|*|b|*sin(a,b)]
(...)

(Jeg har sat [] uden om vektorerne, da der i kilder er pile over, som jeg ikke er i stand til at gengive her).

Det vil sige at her er A_parallelogram=|a|*|a+tb|*sin(a,a+tb).

Kilde: (1) Jens Eising: Lineær Algebra, Institut for Matematik, Danmarks Tekniske Universitet, 1999.

Svar #7
15. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

A_parallelogram=|a|*|a+tb|*sin(a,a+tb) - jeg er helt enig, men jeg kender ikke vinklen mellem vektor a og vektor a+tb, samt heller længden af vektor a+tb?

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. november 2005 af sigmund (Slettet)

Længden af vektor a+tb er sqrt(|a|^2+|tb|^2)=sqrt(|a|^2+t^2*|b|^2), mens vi kan finde _cosinus_ til vinkelen ud fra formelen for vinklen mellem vektorer.

Dog ville det være lettere at bestemme koordinater for a og b, beregne krydsproduktet, og sætte længden af dette lig 20.

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Kunne vi mon få at vide, om vi arbejder i planen (R^2) eller rummet (R^3)?

#8:
Det er ikke korrekt; det skalære produkt a*b er jo ikke 0.

Vi har

|a+tb|^2 = (a+tb)*(a+tb) =
|a|^2 + (t|b|)^2 + 2t(a*b)

Det bliver dog hurtigt klart, at vi ad denne vej roder os ud i problemer, for vinklen u mellem a og a+tb afhænger ligeledes af t. Den sædvanlige relation

cos(u) = a*(a+tb)/{|a||a+tb|} =
{|a|^2 + t(a*b)}/{|a||a+tb|}

bliver bøvlet; vi kender hverken t eller |a+tb|.

#7:
Forudsat vi arbejder i _planen_, er der en smartere metode. Vi husker, at

det(a,a+tb) = â*(a+tb)

Benyt nu, at * er distributiv over (vektor)addition.

Bemærk dernæst, at

â*b = |a||b|cos(v)

(længde bevares under rotation). Vinklen v mellem â og b kan findes med en smule omtanke; betragt den givne vinkel i opgaveteksten. Tegn eventuelt en skitse som støtte. Resten må være til at gennemskue.

//Epsilon

Svar #10
15. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Ja, vi arbejder i planen - det burde jeg have gjort opmærksom på i starten.

"(længde bevares under rotation)." - her hentyder du vel til at |a-hat| = |a|?

Jeg er lidt usikker, men jeg håber du finder tid til at se mine beregninger igennem:

det(a,a+tb) = â*(a+tb), så prikker vi ind i parantesen: â*a + â*(tb) = â*a + t(â*b)

(â*b) findes ved |a||b|cos(v) (forudsat at min antagelse øverst er korrekt), og â*a er vel bare |a|^2? Resten er vel bare ren ligningsløsning med t som ubekendt?

Svar #11
15. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Kan det egentlig være muligt at få en negativ t-værdi? Og er det eden eneste, eller findes der flere?

Svar #12
15. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

"Vinklen v mellem â og b kan findes med en smule omtanke" - Den orienterede vinkel mellem vektor a og b er 30 grader, men vil vinklen mellem â og b så være 90+30=120 eller 90-30=60 grader?

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#10:
Det første er korrekt opfattet.

Distributiviteten af * benyttes ligeledes korrekt; men â*a er jo 0 (vektorerne er ortogonale). Så

det(a,a+tb) = t(â*b) = t|a||b|cos(v) (*)

#12:
Præcis, og det er de eneste muligheder. Det bør ikke forekomme overraskende, at der er to muligheder for t. Bemærk, at det oprindelige krav,

|det(a,a+tb)| = 20,

jo er ækvivalent med

det(a,a+tb) = ± 20 (**)

Det ses umiddelbart, at hver af de bestemte vinkler (v) svarer til en af ligningerne i (**), thi

cos(60°) = -cos(120°) = 1/2,

jf. (*). Resten er elementær ligningsløsning. Kontrollér efterfølgende, at de således bestemte t-værdier opfylder det ønskede.

//Epsilon

Svar #14
16. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

De to værdier for t findes ved det(a;+tb = ± 20, men hvilken vinkel er mellem a og a+tb?

Brugbart svar (0)

Svar #15
16. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#14:
Vinklen u mellem a og a+tb afhænger, som tidligere nævnt, af t via relationen

cos(u) = a*(a+tb)/(|a||a+tb|),

hvor

a*(a+tb) = |a|^2 + t(a*b)
|a|^2 + (t|b|)^2 + 2t(a*b).

Da |a|,|b| og a*b = |a||b|cos(30°) er kendt, kan u således fastlægges med kendskab til t.

//Epsilon

Svar #16
16. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Enten har jeg misforstået noget grueligt meget, ellers har jeg måske ikke udtrykt mig klart nok. Dette er mine beregninger så langt:

det(a;a+tb) = â*(a+tb) = |a|^2 + t(â*b) = ± 20

hvor â*b = 5 * 2 * cos(60 eller 120)?

Brugbart svar (0)

Svar #17
16. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#16:
Hvad var det nu, jeg sagde om skalarproduktet â*a i #13? ;)

Det er sådan set underordnet, hvilken vinkel (60° hhv. 120°) mellem â og b, du vælger, thi

cos(60°) = -cos(120°),

og disse vil således modsvare de modsatte fortegn i determinantligningen

det(a,a+tb) = ± 20.

Måske udtrykte jeg ikke dette forhold klart nok tidligere. Kan du stadigvæk ikke se det, så løs begge ligningerne

det(a,a+tb) = -20
det(a,a+tb) = 20

for t, med hver af de to vinkler (60° hhv. 120°) og konstatér, at de samme t-værdier returneres i begge tilfælde.

//Epsilon

Svar #18
17. november 2005 af Martin_Hansen (Slettet)

Det vil jeg prøve, og mange tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Vektor

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.