Omskrivning af formel

Man har

x(t) = c₁·e^iwt + c₂·e^-iwt                                                           (2.15)

      = c₁·(cos(wt) + i·sin(wt)) + c₂·(cos(-wt) + i·sin(-wt))

      = (c₁+c₂)·cos(wt) + i·(c₁-c₂)·sin(wt)

      = A₁·cos(wt) + A₂·sin(wt)                                              (2.16)

                                     x(t) = C₁·cos(ωt) + C₂·sin(ωt)       
anvendes ofte
på formen
                                     x(t) = A·cos(ωt-β)
hvor
            A = √(C₁²+C₂²)    og    β = tan^-1(C₂/C₁)

eller
                                     x(t) = A·sin(ωt+φ_o)          med    φ_o = -β+(π/2)

 

#1

Hvordan forsvandt i fra den anden sidste linje?

#2

Tak.

                        i·(c₁-c₂) = A₂           hvor c₁ og c₂ er konstanter

Når du har et punkts koordinater
(x,y)
                                    menes
                                                      OP = x·i + y·j     
her fungerende som
                                                       0 + i·(c₁-c₂)
med
                                     (c₁-c₂) som en slags "koordinat".

#4

Okay, men hvad med det andet led med (c₁+c₂)? Der er ikke tildelt en retning - hverken i og j. Det kan da ikke betyde, at man ser bort fra det?

#5

Jeg forstår ikke, hvad du mener her. Man kander den complekse konstant (c₁+c₂) for A₁, og den komplekse konstant i·(c₁-c₂) for A₂ og kan så skrive udtrykket på den ønskede form (2.16), hvor A₁ og A₂ er nye komplekse konstanter.

#6

Det forvirrede mig bare, at der ikke indgik i i A₁, men kun i A₂. Det følger dog af omskrivningen i #1.

Hvis jeg kender konstanterne i formel (2.16) - kan jeg så direkte plotte det ind på et almindeligt koordinatsystem? Eller skal det være på det komplekse plan?

#7

Bemærk at alle de indgående konstanter c₁, c₂, A₁, A₂ er komplekse konstanter.

#8

Okay, et eksempel af formel (2.16):

x(t) = 5·cos(0,1·t) + 10·sin(0,1·t)  

Jeg kan altså ikke lade t være 'x-aksen' og x(t) lig 'y-aksen'?

#9

Jo, det kan du vel godt; i det eksempel er konstanterne A₁ og A₂ reelle. Men generelt er konstanterne i det vedlagte komplekse.

#10

Godt. Så, hvis der stod:

z = 5·cos(0,1·t) + 10i·sin(0,1·t),

så ville Re(z) = 5·cos(0,1·t) og Im(z) = 10·sin(0,1·t)?

Vil funktionen x(t) ikke give den samme form som den komplekse funktion z?

#11

Jeg ved ikke, hvad du mener med x(t) her.

#12

Med x(t) mener jeg funktionen i #9.

Kan man i øvrigt have en kompleks funktion, der er afhængig af en variabel, her t?

#13

Det er jo ikke den samme funktion som z(t) i #11. Funktionen x(t) i #9 er en funktion med reelle værdier. Funktionen z(t) i #11 har komplekse værdier.

Re(x(t)) = 5·cos(0,1·t) + 10·sin(0,1·t)  , Im(x(t)) = 0

Re(z(t)) = 5·cos(0,1·t) , Im(z(t)) = 10·sin(0,1·t)

#13

Man kan da sagtens forestille sig en funktion f(t): R --> C .

#15

Okay, tak.

Det er fordi, at vi ikke ser på den komplekse enhed i, når vi skal bestemme konstaterne i formel (2.16).

Det må altså forstås, at løsningen x(t) kan både beskrives komplekst (formlen før formel (2.16) i #1) og vha. en reel funktion (formel (2.16)). Vi tager umiddelbart udgangspunkt i det sidstnævnte. Begge løsninger skulle meget gerne være lige rigtige, ikke?

#16

Jeg forstår stadig ikke, hvad du mener. I det vedlagte er funktionen x(t) en funktion hvori der indgår generelle komplekse konstanter.

#17

Jeg skriver, at hvis du har bestemt konstanterne i følgende funktion:

z(t) = (c₁+c₂)·cos(wt) + i·(c₁-c₂)·sin(wt),

så har du en kompleks løsning til problemet. Hvis du derimod har bestemt konstanterne ud fra:

x(t) = A₁·cos(wt) + A₂·sin(wt), hvor A₁ og A₂ er reelle, så har du en reel løsning til problemet.

Er det korrekt forstået?

#18

Ja, det er vel klart, at hvis A₁ og A₂ er reelle, er løsningen en reel funktion. Hvis A₁ og A₂ er komplekse, er løsningen en kompleks funktion.

#19

Vi er enige. Tak.