Tredjegradsligning trin for trin

http://da.wikipedia.org/wiki/Tredjegradsligning

Du kan google mere med:  løsning trediegradsligning

Den engelske er mere omfattende se  http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function 

Du skal ikke kunne løse den manuelt på B-niveau. Det er helt sikkert.

#3

Du skal ikke kunne løse den manuelt på B-niveau. Det er helt sikkert.

mente også A :D

#4

Ligningen har ikke nogen "pæne" rødder. Den har 1 reel og 2 komplekse rødder. De kan findes ved at benytte et CAS-værktøj, eller ved at benytte de klassiske metoder, hvortil der henvises i #2.

#5

#4

Ligningen har ikke nogen "pæne" rødder. Den har 1 reel og 2 komplekse rødder. De kan findes ved at benytte et CAS-værktøj, eller ved at benytte de klassiske metoder, hvortil der henvises i #2.

hvad er CAS værktøj? jeg har aldrig regnet en tredjegradsligning før, og nu skal jeg ikke lave andet i min sso

ville det være forkert og gøre sådan:

z³-3z²+4z-5 = 0

(z²-3z+4)z=0

??? jeg forstår ikke det på Wikipedia.

#6

Ja, det er forkert. Du kan ikke bare smide konstanten 5 væk.

#6

Reducer først ligningen

z³ -3z² +4z -5 = 0

med substitutionen

z = x + 1 ,

hvorved man får ligningen

x³ + x -3 = 0 ,

der har formen

x³ + px + q = 0 .

Beregn så

   og    .

Da p > 0, er kvadratrødderne reelle, og den ene reelle rod i ligningen er så

x₁ = u + v

Hvis du aldrig har regnet med 3. grads ligninger før er det nok meningen at du skal bruge et CAS værktøj. Det er et matematikprogram som for eks. maple eller en grafregner som for eks. Ti89

#8

#6

Reducer først ligningen

z³ -3z² +4z -5 = 0

med substitutionen

z = x + 1 ,

hvorved man får ligningen

x³ + x -3 = 0 ,

der har formen

x³ + px + q = 0 .

Beregn så

   og    .

Da p > 0, er kvadratrødderne reelle, og den ene reelle rod i ligningen er så

x₁ = u + v

er med på hvordan du får z=x+1

men hvordan får du den ligning?

x+1³-3*3+1²+4*x+1-5=0??

Den ligning fås da slet ikke. Det du skriver er en første gradsligning resultatet i #8 er en tredjegradsligning

#10

Man udregner venstresiden z³ -3z² +4z -5  med z = (x + 1) til

(x+1)³ -3·(x+1)² +4·(x+1) - 5 ,

og man bruger parenteser. Dvs.

x³ +3x² +3x +1 -3x² -6x -3 +4x +4 -5 = 0

#12

#10

Man udregner venstresiden z³ -3z² +4z -5  med z = (x + 1) til

(x+1)³ -3·(x+1)² +4·(x+1) - 5 ,

og man bruger parenteser. Dvs.

x³ +3x² +3x +1 -3x² -6x -3 +4x +4 -5 = 0

hvordan får du de 3x² ? :D

#13

Ved at benytte udtrykket for kubus på en 2-leddet størrelse:

(a+b)³ = a³ + 3a²·b + 3a·b² + b³

som let kan udregnes, hvis du ikke allerede er bekendt med det

(a+b)³ = (a+b)²·(a+b) = (a² + 2ab + b²)·(a+b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³

                                                                       = a³ + 3a²·b + 3a·b² + b³

#0:   Numerisk metode:

En 3. grads ligning har mindst een reel rod. Kan man finde en sådan, kan man dividere den op i 3. grads polynomiet og får herved en minuend, der er et 2. grads polynomium, som du kan finde de resterende 2 rødder i.

Den reelle rod findes mest effektivt ved Newtons metode ( iterativ tilnærmelse):

z0_n+1 = z0_n - ( f(z0_n) / f '(z0_n )

Her har man:

f(z) = z³ - 3z² +4z - 5       =>

f '(z) = 3z² - 6z + 4

Man "gætter" en rod, z0, og anvender denne i iterationen. Kigger man lidt på f(z) ses, at z0 ≈ 3  ikke er en helt "skæv" værdi, og udfører iteration ved:

    z0           f(z0)            f '(z0)

    3              7                 13                         (  3 - 7/13 = 2,46 )

2,46        1,57                7,39

2,248       0,1918            5,673

2,2142     0,0042728       6,42284       ( bemærk, at antallet af decimaler øges I slutningen af iterationen)

2,2134121                                         ( stopper iteration her. Den "rigtige" værdi er:  2,2134117

Man dividerer nu f(z) med ( z - 2,2134121 )  og får hedved et 2. grads polynomium.