Bestem fuldstændige løsning til differentialligningen

Indsæt en funktion af den viste form i differentialligningen og bestemt så konstanten A. Derved findes en partikulærløsning y_p(t) til den inhomogene ligning.

Find samtlige løsninger til den tilsvarende homogene ligning

      y '(t) + y(t) = 0

og læg så dertil den partikulære løsning y_p(t) .

eller uden gæt:

                          y' + y = e^−2t                                     multiplicer med e^t            

                          e^t·y' + y·e^t = e^−2t·e^t                          venstre side omskrives og højre side reduceres

                          (e^t·y(t))' = e^-t                                    som ved integration mht t giver

                          e^t·y(t) = ∫e^-tdt

                          e^t·y(t) = -e^-t + C

                          y(t) = Ce^-t - e^-2t

hvordan skal jeg indsætte funktionen? 

#3

Indsæt funktionen i differentialligningen. Med y_p(t) = Ae^−2t er y_p'(t) = -2·Ae^−2t , så venstresiden er

y'(t) + y(t) = -2·Ae^−2t + Ae^−2t = -Ae^−2t .

For at det kan være lig med differentialligningens højreside e^-2t, kræves -A = 1, dvs. A = -1 .

Samtlige løsninger til den homogene differentialligning  y'(t) + y(t) = 0 er

y(t) = C·e^-t .

Samtlige løsninger til den inhomogene differentialligning er så

y(t) = C·e^-t + y_p(t) = C·e^-t - e^-2t

#3
                  y'(t) + y(t) = e^−2t                      y_p(t) = Ae^-2t        y_p'(t) = A·e^-2t·(-2) = -2A·e^-2t

                  y_p'(t) + y_p(t) = e^-2t 

                  -2A·e^-2t + Ae^-2t = e^-2t

                  -2A + A = 1

                   A = -1

      så
                   y_p(t) = -e^-2t

samtlige løsninger til
den homogene differentialligning

                  y'(t) + y(t) = 0

                  y'(t) = -y(t)

                  y(t) = Ce^-t

hvoraf
samtlige løsninger til y'(t) + y(t) = e−2t
er
                 y(t) = Ce^-t - e^-2t