Matematik

Funktionsundersøgelse

22. november 2005 af john2005 (Slettet)

Funktionen f er givet ved

f(x)=x-2+(1/x)

Angiv Dm(f), og vis ved beregninger at grafen rører, men ikke skærer, x-aksen..

Et lille hint, ville være rart :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. november 2005 af mettma (Slettet)

prøv at undersøg f(0)!?
-Mettma

Svar #2
22. november 2005 af john2005 (Slettet)

Det beviser jo ikke at den ikke skærer.. Ved f(0), får jeg jo bare punkterne når y=0..

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. november 2005 af Mirage.dk (Slettet)

ej, det skulle du helst ikke, da det i f(0) er x=0 ikke f(x)=0.

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. november 2005 af fixer (Slettet)

#0
Funktionen 1/x er ikke defineret i x=0, medens x-2 er defineret for alle x. Derfor er Dm(f)=R\\{0}.

Omskriv dernæst som

f(x)=x-2+1/x = (x^2-2x+1)/x = (x-1)^2/x

Heraf ses umiddelbart at

x f(x) < 0 thi (x-1)^2 > 0

x>0 => f(x) >= 0 thi (x-1)^2 >= 0

Vi slutter heraf:

(a) Grafen for f ligger for x0 over x-aksen undtagen i punktet x=1 hvor den rører x-aksen.

Da f ikke er defineret i x=0 kan grafen for f ikke skære x-aksen i dette punkt [grafen for f har y-aksen som lodret asymptote].

Ergo skærer grafen for f aldrig x-aksen.

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Som alternativ til det udmærkede forslag i #4 kan man observere, at f er differentiabel i D_f = R\\{0} med afledet

f'(x) = 1 - 1/x^2,

som klart er kontinuert i D_f og har nulpunkter x = ± 1 og fortegnsvariation

f'(x) > 0 <=> |x| > 1
f'(x) < 0 <=> |x| < 1 og x != 0.

Heraf ses, at f er aftagende i

[-1;1]\\{0}

og voksende i

]-infty; -1] og [1;infty[

Følgelig er x = -1 et lokalt maksimumssted og x = 1 et lokalt minimumssted. Simple udregninger giver

f(-1) = -4, f(1) = 0.

Ergo, grafen for f rører x-aksen i (1,0), men skærer den intetsteds.

//Epsilon

Skriv et svar til: Funktionsundersøgelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.