Vektor i rummet

Find et punkt på den ene linje. Det nemmeste er A eller B. Brug afstandsformlen  til at finde afstanden til et vilkårligt punkt på den anden linje, som funktion af parameteren. Minimum for denne funktion er afstanden mellem linjerne.

Alternativ. Find ligningen for et plan, der er vinkelret på linjerne og som går gennem et kendt punkt på mden ene linje. Find de punkt, hvor den anden linje skærer planen. Afstanden mellem de to punkter er den søgte afstand

Er ikke helt sikker på hvordan du mener. afstandsformlen er det ikke kun for vektorer i planen (2D) ?

Afstandsformlen kvrod(  (x₁-x₂)² + (y₁-y₂)² + (z₁-z₂)²  )  gælde i det 3. dimensionale rum

Jamen med den formel der, finder jeg jeg jo kun længden af en vektor med to kendte punkter.

Jeg kender jo ikke punktet til m hvori afstanden er mindst 

Det er afstanden mellem to punkter ikke mellem to vektorer. Du skal som det ene punkt indsætte et kendt punkt på den ene linje. Det andet punkt er i første omgang et vilkårligt punkt på den anden linje. Dette punkt er så en funktion af parameteren t og du får derfor en afstanden mellem de 2 punkter som en funktion af parameteren t. Deraf kan du så finde den mindste afstand fra det kendte punkt til den anden linje. Denne afstand er den søgte afstand.

|AP| = √(3-(2-2t))² + (5-(2-3t))² + (4-(2-s))² ⇔ |AP| = -24 + 25t (hvor P er et hvilkårligt punkt på m ud fra m's parameterfremstilling, og A er det kendte punkt)

Måske er det mig der er dum, men er slet ikke med på hvordan det hjælper mig, ej heller om det er i den rigtig retning det her.

Du bruger både s og t som parameter. Vær konsekvent og brug samme parameter. Ellers er det første rigtigt. Det er den anden ikke. Hvis du sætter t=0 får du en negativ afstand.

Minimer hellere |AP|². det er lidt lettere, Differentier funktionen, sæt resultatet = 0 og løs den derved fremkomne lignin. Resultatet er den parameterværdi, der giver den mindste afstand

Der er givet linien l bestemt ved et punkt Q og en retningsvektor r . Linien m er parallel med linien l og går gennem punktet P . Man kan finde afstanden mellem de to parallelle linier ved at opløse vektoren QP i en komposant parallel med linierne og en komposant vinkleret på linierne. Afstanden mellem linierne er længden af den vinkelrette komposant. Komposanten parallel med linierne er projektionen af vektoren QP på vektoren r. Komposanten vinkelret på linierne er da

QP_v = QP - (QP•r/|r|) r/|r|

og afstanden d mellem de to parallelle linier er da

d = |QP_v| .

Vi har da

d² = |QP_v|² = |QP|² +(QP•r)²/|r|² - 2(QP•r)²/|r|²

     = |QP|² - (QP•r)²/|r|²

Man skal derfor blot beregne |QP|² , |r|² og (QP•r)² .

Jeg syntes desværre ikke rigtig det giver nogen mening for mig, bla. fordi jeg ikke ved hvad du mener med komposanter.

Hvis du gider at vise dine udregninger, med tallene fra opgave ?

#9

En komposant er en del af et hele.

Man benytter Q = A(3,5,4), r = AB = [4,6,2] og P(2,2,2) , så

QP = [-1,-3,-2]

og dermed

QP•r = -4 -18 -4 = -26 , |QP|² = (-1)² + (-3)² + (-2)² = 14 , og |r|² = 4² + 6² + 2² = 16 + 36 + 4 = 56 , så

d² =  |QP|² - (QP•r)²/|r|² = 14 - (-26)²/56 = 14 - 169/14 = (196-169)/14 = 27/14

Forstår ikke hvordan du kommer fra 14 - (-26)^2/56 til 14 - 169/14 og så videre til (196-169)/14. Kan godt se at du dividere 56 med 4 for at få 14 og ganger 14 med 14 for at få 196. Hvorfor kan jeg ikke finde ud af ?

#11

14 - (-26²)/56 = 14 - 262/56 = 14 - 4·13²/(4·14) = 14 - 169/14 = (14·14/14) - 169/14 = (196 - 169)/14 = 27/14 .

Jeg går ud fra, at du har lært almindelig brøkregning i folkeskolen.

Det har jeg ja, men ikke noget jeg var god til, ej hellere noget jeg nogensinde siden hen er blevet gode venner med.

Men kan se at når jeg trykker det ind på lommeregneren. √14-((-26)^2/56) og ber om at få det i decimaler, får jeg resultatet 1,3887301 = 1.39, som passer med bogen.

Men hvorfor var det jeg kunne gøre det på denne måde sagde du ?

#13

Læs svaret i #8.

En vektor kan skrives som summen af projektionen plus en rest, der står vinkelret på projektionen. Det er længden af den vinkelrette rest, der er lig med afstanden mellem de parallelle linier.