Side 2 - Vektorteori

#20

c har da mange roller. Det drejer sig om at beregne skalarproduktet

        a • b = (a₁i + a₂j + a₃k) • (b₁i + b₂j + b₃k)

                 = ((a₁i + a₂j) + a₃k) • (b₁i + b₂j + b₃k)     (her er c = (b₁i + b₂j + b₃k))

                 = (a₁i + a₂j) • (b₁i + b₂j + b₃k) + a₃k • (b₁i + b₂j + b₃k)

                 = a₁i • (b₁i + b₂j + b₃k) + a₂j • (b₁i + b₂j + b₃k) + a₃k • (b₁i + b₂j + b₃k)

                 = ((b₁i + b₂j) + b₃k) • a₁i + ((b₁i + b₂j) + b₃k) • a₂j + ((b₁i + b₂j) + b₃k) • a₃k

                  = (b₁i + b₂j) • a₁i + b₃k • a₁i + (b₁i + b₂j) • a₂j + b₃k • a₂j + (b₁i + b₂j) • a₃k + b₃k • a₃k

                  = a₁b₁ i•i + a₁b₂ i•j + a₁b₃ i•k + a₂b₁ j•i + a₂b₂ j•j + a₂b₃ j•k + a₃b₁ k•i + a₃b₂ k•j + a₃b₃ k•k

                  = a₁b₁ i•i + a₂b₂ j•j + a₃b₃ k•k

                  = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Meningen er, at du selv bør kunne se, at den distributive lov anvendes flere gange, og at de fleste af bidragene til skalarproduktet forsvinder på grund af basisvektorernes ortonormalitetsegenskab.

#21

Mange tak.

#21

Kan du egentlig se, hvorfor ω = |w|, når formlen for ωd opskrives i det følgende:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/Vektor.jpg

#24

Det kan jeg ikke lige se.

I teksten står der, at længden af w er lig vinkelhastighed ω divideret med en afstand indtil rotationsaksen fra et vilkårligt punkt i legemet. Hvordan kan man se den sammenhæng? Er det en bestemt formel, der bruges?

#26

Grunden til jeg skrev det op, er fordi jeg ikke forstår det:

"The length of w is equal to the angular speed ω of the rotation, that is, the linear speed of a point of B divided by its distance from the axis of rotation"

Jeg kan ikke se sammenhængen.

#27

Jeg kan fanget pointen nu. Et andet spørgsmål:

Hvis nu grundfladen i et parallelepipedum er lig |b x c| og højden lig |a| |cos(φ)|, så gives volumen ved:

|a| |b x c| |cos(φ)| = |a • (b x c)|

Hvordan kan man se, at venstresiden er lig højresiden?

#28

Det følger jo af, at |a•b| = |a||b|·|cos(v(a,b))|

#29

Udmærket. Tak for det.

#29

Dagens sidste spørgsmål:

Hvad er forskellen mellem en skalarfunktion og et skalarfelt?

Jeg har et eksempel på dem begge i nedenstående link:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/Teori.jpg

men, hvad er forskellen ud over, at en skalarfunktion giver et tal ud (en skalar) og et skalarfelt giver en vektor ud?

#31

Der er ingen forskel. I det første eksempel kaldes f(P) både "a scalar field" og "a scalar function". Et skalarfelt giver ikke en vektor som resultat.

http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_field

Der er en teknisk forskel mellem skalarfelt og skalarfunktion.

Et skalarfelt afbilder en vektor x ∈ Rⁿ på et tal f(x) ∈ R ,

mens en skalarfunktion afbilder et talsæt (x₁,..,x_n) ∈ Rⁿ på et tal f(x₁,...,x_n) ∈ R .

#33

Hvis vi skal sammenligne det med det du har skrevet med eksemplerne, så får vi et talsæt f(x,y,z) ud for følgende givne punkter: P₀ = (x₀,y₀,z₀) og P = (x,y,z). I sidste eksempel får vi en vektor ud, men det må så være en funktion af både c, x₀, x, y₀, y, z og z₀ (hvad mener du med f(x) her?).

Er der en forskel mellem et skalarfelt og et vektorfelt?

#4

Et vektorfelt giver en vektor som resultatet, mens et skalarfelt giver en skalar som resultatet. Det fremgår jo af begrebernes navne.

#35

Det du siger er, at skalarfelt og skalarfunktion er det samme og at eksempel 3 er et vektorfelt?

#36

Det er det samme med den lille tekniske finesse i #33.

Ja, det fremgår jo af det vedlagte, at eksempel 3 er et vektorfelt (eksemplets titel).

#37

Der er en formulering, der driller. Du skriver, at et skalarfelt afbilder en vektor på et tal. Det gør et vektorfelt jo også - man får en vektor ud? Jeg kan godt nok ikke se forskellen. Har du et eksempel på et skalarfelt?

#38

Et vektorfelt afbilder jo netop ikke en vektor på et tal, men på en vektor. Det er jo derfor, det kaldes et vektorfelt, fordi resultatet er en vektor og ikke en skalar.

Du har jo selv henvist til eksemplerne i din tekst.

#39

Jeg har mere eller mindre styr på et vektorfelt. Eksempel 1 er en skalarfunktion, idet input-værdierne er tal og at output-værdierne også er konstanter (talsæt). Kan du henvise til et eksempel med et skalarfelt?