Matematik

Sandsynlighed og fordelingsfunktion

30. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg har denne opgave som jeg gerne vil have hjælp til:

Lad X ~ R(0,1) (se f.eks. http://mathworld.wolfram.com/UniformDistribution.html her er a = 0 og b = 1) og antag at Y = -ln(X). Vis at fordelingsfunktionen for Y er

0 for y <= 0
1-e^(-y) for y >= 0

Min ide til en løsning (som ikke er rigtig):

Da X ~ R(0,1) og (x-0)/(1-0) = x er fordelingsfunktionen for X givet ved

0 for x <= 0
x for x E ]0,1[
1 for x >= 1

Vi har nu at

Y = -ln(X) => X = e^(-Y)

Derfor er fordelingsfunktionen for Y givet ved

0 for y <= 0
e^(-y) for y E ]0,1[
1 for y >= 1

Dette er jo så ikke rigtigt, men jeg ved ikke hvordan jeg skalvgøre det så håber I kan hjælpe mig.

Svar #1
30. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg opdaterer lige tråden.

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. november 2005 af fixer (Slettet)

Lad den stokastiske variabel X have fordelingsfunktionen F(x) og lad Y = h(X). Fordelingsfunktionen G for den stokastiske variabel Y=h(X) findes da som

G(y) = P{Y== 1

og funktionen h(x)=-log(x) er defineret for x>0 med h^(-1)(y)=exp(-y).

Da h(]0,1[)=R+ haves betingelsen y > 0.

Antag y=0. Da er

h^(-1)(]-oo,y]) =

h^(-1)([0,y]) =

[exp(-y),1]

thi h([exp(-y),1]) = [0,y].

Vi finder derfor fordelingsfunktionen G af (*) til

G(y) = P{X E Ø} = 0 for y = 0.

Der gælder følgende sætning, som kan bringes i anvendelse i det konkrete tilfælde:

Lad X være en kontinuert, stokastisk variabel med frekvensfunktion f, lad I_1 være et åbent interval, så P{X E I_1}=1, lad h være en bijektiv afbildning af I_1 på et åbent interval I_2, og lad yderligere h være differentiabel med kontinuert differentialkvotient h', som opfylder h'(x) != 0 for alle x E I_1.

Da gælder, at frekvensfunktionen g(y) for Y=h(X) er givet ved

g(y) = f(h^(-1)(y))|(h^(-1))'(y)|, y E I_2

g(y) = 0 ellers

Fordelingsfunktionen G(y) findes herefter ved integration.

I det konkrete tilfælde haves

I_1 = ]0,1[
I_2 = R+

f(x) = 1 for x E I_1, 0 ellers
h^(-1)(y)=exp(-y) , y E I_2

og dermed

g(y) = 1*|-exp(-y)| for y E I_2
g(y) = 0 ellers

Integration giver dernæst umiddelbart fordelingsfunktionen bestemt ovenfor.

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. november 2005 af 404error (Slettet)

Omend opgaven glimrende kan løse ved anvendelse af transformationssætningen, så er en simplere, direkte metode muligvis at foretrække. Såfremt F betegner fordelingsfunktionen for Y = -log(X) gælder

F(y)=P(Y <= y) =
P(-log(X) <= y) =
P(X >= exp(-y)) =
1 - P(X < exp(-y)).

Heraf fås det ønskede resultatet umiddelbart ved beregning af den relevante sandsynlighed i ligefordelingen.

Svar #4
01. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Undskyld det sene svar. Mange tak for jeres gode løsninger!

Jeg forstår ikke rigtig i #3 hvorfor du kan vende ulighedstegnet første gang, altså hvorfor

P(-log(X) <= y) = P(X >= exp(-y))

I grunden skal jeg også vise at F(y) er givet ved

0 for y <= 0
1-exp(-y) for y >= 0

altså F(y) = 0 for y = 0. Hvordan gør jeg det? Er det bare at beregne grænseværdien af 1-exp(-y) for y --> 0 fra højre og så vist at den giver 0?

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#4:
Det bliver sikkert tydeligere, hvis vi tager en ekstra mellemregning:

P(-log(X) <= y)
= P(log(X) >= -y)
= P(X >= exp(-y))

Svar #6
02. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Hvad med det der med at

F(y) = 0 for y <= 0

Hvordan viser jeg det? Altså for lig med.

Svar #7
02. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg opdaterer lige tråden i håb om at nogle kloge matematikere skulle være stået op nu :-)

Svar #8
02. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Prøver med en opdatering igen.

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. december 2005 af 404error (Slettet)

En ligefordelt stokastisk variabel X er (absolut) kontinuert. Derfor gælder

P(X < x) = P(X <= x),

og resultatet i #6 kan således også udledes af #3.

Skriv et svar til: Sandsynlighed og fordelingsfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.