Matematik

Differentialregning

07. december 2005 af MichaelKarlsen (Slettet)

Jeg har brug for hjælp.

I en matematisk model for lufttrykkets variation med højden over havoverfladen er der følgende sammenhæng:
(dp/dx)= -ap
mellem lufttrykket p og højden x over havoverfladen. Når p angives i mmHg og x i meter, har a værdien 0,000119.
En bestemt dag er lufttrykket 675 mmHg i højden 900 meter.

Bestem ud fra dette en forskrift for det approksimerende førstegradspolynomium til p i tallet 990.
Giv ved hjælp af forskriften et skøn over trykket i højden 1000 meter den pågældende dag.
På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2005 af Epsilon (Slettet)

Den sædvanlige procedure herinde er, at spørgeren kommer med sine egne, velovervejede bud, og så skal vi andre gerne kommentere dem.

//Epsilon

Svar #2
08. december 2005 af MichaelKarlsen (Slettet)

#1:
Jeg er ikke helt frisk på den ovenstående opgave. Jeg forstår den ikke.
Mit bud (som stort set lige er kommet frem):
a er konstanten.
p og x er vel et punkt (x,y)?
Derfor finder jeg det lidt mærkeligt, at p er placeret i ligningen, hvor den er.
Vi har vel punktet (675,990) eller?
Jeg er meget på bar bund.

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. december 2005 af Epsilon (Slettet)

Du må lige beslutte dig for, om det skal være 900 eller 990; du skriver først det ene, men ændrer det dernæst til 990 i selve spørgsmålet. Hvilket er korrekt?

I omtalte model varierer lufttrykket p med højden x over havoverfladen i henhold til differentialligningen

dp/dx = -ap

Det approksimerende førstegradspolynomium f til p i x0 er som bekendt den funktion, hvis graf er tangenten til grafen for p i punktet (x0,p(x0)), ergo

f(x) = p(x0) + p'(x0)(x - x0)

x0 og p(x0) læser man direkte ud af teksten, og p'(x0) kan bestemmes af differentialligningen, thi

p'(x0):= dp/dx|_x=x0 = -a*p(x0),

og såvel a som p(x0) er kendt.

Dernæst skal du bestemme en forskrift for p, som funktion af x, ud fra modellen og benytte den til at estimere p(1000).

Separér de variable, hvis I har lært den metode, eller benyt den generelle løsning til differentialligninger af bemeldte type,

dy/dx = ky,

hvor k er en reel konstant. Denne type må I have behandlet i undervisningen.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. december 2005 af allan_sim

#3.
Det er nu ikke tanken, at differentialligningen skal løses. Man skal derimod konstatere, at det approksimerende førstegradspolynomium også kan bruges til at finde en tilnærmet værdi for trykket i 1000 meters højde og derefter finde denne ved indsættelse i førstegradspolynomiet.

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:
Korrekt; jeg sidder da vist og sover noget så gevaldigt. :)

//Epsilon

Svar #6
11. december 2005 af MichaelKarlsen (Slettet)

Tak for hjælpen ind til videre, men jeg må indrømme, at jeg stadig er forholdsvis blank. Vi har ikke haft særlig meget om sådanne, ovenstående opgaver.
Epsilon: "Du må lige beslutte dig for, om det skal være 900 eller 990; du skriver først det ene, men ændrer det dernæst til 990 i selve spørgsmålet. Hvilket er korrekt?"
Jeg mener det, jeg skriver! Først er det 900 og dernæst 990.
Kan jeg få nærmere hint?
Bliver ydermere forvirret af, at der nu bliver rettet lidt i det. ;o) Selvom det hele selvfølgelig er til for at hjælpe mig. Jeg underskylder, at jeg ikke forstår det. Mere hjælp ønskes.
På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. december 2005 af saramusser (Slettet)

Den er fra eksamesbogen ik? Hvilket opg nummer er det? Er næsten helt sikker på at jeg har lavet den nemlig..

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. december 2005 af saramusser (Slettet)

Den er fra eksamesbogen ik? Hvilket opg nummer er det? Er næsten helt sikker på at jeg har lavet den nemlig..

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Vi har en model, som beskriver lufttrykkets (p, målt i mm Hg) variation med højden x (målt i m) over havoverfladen:

dp/dx = -(0,000119)p (*).

Det oplyses, at lufttrykket en bestemt dag er 675 mm Hg i højden 900 meter, dvs.

p(900) = 675.

Hertil er du vistnok med.

Lad f betegne det approksimerende førstegradspolynomium til p i punktet (x0,p(x0)). Som bekendt er f den funktion, hvis graf er tangenten til grafen for p i punktet (x0,p(x0));

f(x) = p(x0) + p'(x0)(x - x0)

Af opgaveteksten aflæses punktet (900,675), hvormed vi kan bestemme en forskrift for f, idet

p'(x0) = -(0,000119)p(x0)

ifølge differentialligningen (*).

Umiddelbart tror jeg, at '900' eller '990' er en fejl i opgaven, for det virker ulogisk først at oplyse lufttrykket i én højde og så bede om at bestemme f i en anden højde, hvis ikke I har lært at løse differentialligninger af en type som (*).

I andet spørgsmål skal man ved brug af f skønne over lufttrykket i højden 1000m, dvs. bestemme

f(1000).

Dette er altså en tilnærmelse til det egentlige lufttryk i højden 1000m.

//Epsilon

Skriv et svar til: Differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.