Side 2 - Tennis-kampen

Resultatet i #18 kan så skrives mere kompakt som

        P(Anders vinder "kamp") = p¹⁰ · ∑¹⁹_n=10 (^n-1₉) · (1-p)^n-10 ,

hvor p = P(Anders vinder) = (1 - p_J) · (1 + p_A) / (2·(1 - p_A·p_J)) .

#18 Hvilket program har du brugt?

#22

Jeg har blot brugt Excel.

Ved at bruge modellen i #21 får vi:

pA=0.8
pJ=0.7

pAnders= (1-pJ)*(1+pA)/(2*(1-pJ*pA))

p=p^10 * sum(choose((9:18),9)*(1-pAnders)^((0:9)))
p

Her er p næsten 0.00

#24

Nej, det er ikke tilfældet. Med p_A = 0,8 og p_J = 0,7 , har man

        p = P(Anders vinder) = (1 - p_J) · (1 + p_A) / (2·(1 - p_A·p_J))

                                          = 0,3 · 1,8 / (2·(1-0,56)) = 0,27 / 0,44 = 27/44 ≈ 0,613636

og dermed

        P(Anders vinder "kamp") = p¹⁰ · ∑¹⁹_n=10 (^n-1₉) · (1-p)^n-10

                                                = p¹⁰ · (1 + 10·(1-p) + 55·(1-p)² + 220·(1-p)³ + 715·(1-p)⁴ + 2002·(1-p)⁵
                                                                + 5005·(1-p)⁶ + 11440·(1-p)⁷ + 24310·(1-p)⁸ + 48620·(1-p)⁹)

                                                = 0,0075703 · (1 + 3,863636 + 8,210227 + 12,68853 + 15,93276
                                                                         + 17,23635 + 16,64875 + 14,70279 + 12,07132 + 9,327842)

                                                = 0,0075703 · 111,6822

                                                = 0,84546

Jeg havde skrevet p i stedet for pAnders i ligningen. Nu får jeg samme resultat 0.84546. Det er den teoretiske værdi.

Sammenligner vi med mit simuleringsprogram i starten af tråden, fik jeg 11/15=0.7333, som er tæt på den teoretiske værdi. Det kunne være sjovt at undersøge om det vil konvergere mod den teoretiske værdi, som antallet af kampe mellem Anders og Jacob stiger og se på variansen af dette estimat. 

Det bliver bare ikke i aften. Godnat :) 

Med sandsynligheden for at Anders vinder en "kamp" i #21 kan vi så beregne sandsynligheden for at Anders vinder k kampe ud af n kampe i alt:

      P(Anders vinder k ud af n) = (ⁿ_k) ·[P(Anders vinder "kamp")]^k · [1 - P(Anders vinder "kamp")]^n-k

Opgaven betragter specielt n = 15 . Det forventede antal vundne kampe for Anders er da

     E(Anders vundne kampe) = ∑¹⁵_k=0 k · P(Anders vinder k ud af 15) .

Sætter vi p_J = 1/2 , får vi følgende tabel for det forventede antal vundne kampe E for Anders ud af 15:

  p_A         E
0.50   7.50000
0.60 11.05543
0.70 13.77292
0.71 13.95566
0.72 14.12057
0.73 14.26788
0.74 14.39805
0.75 14.51170
0.76 14.60967
0.77 14.69295
0.78 14.76266
0.79 14.82006
0.80 14.86645
0.81 14.90320
0.82 14.93166
0.83 14.95315
0.84 14.96893
0.85 14.98016
0.86 14.98786
0.87 14.99294
0.88 14.99612
0.89 14.99801
0.90 14.99906

Det stemmer godt overens med resultatet i #4.