Tennis-kampen

Antag at de spiller 15 kampe og angiv vinderne for de 15 kampe ud fra de valgte sandsynligheder.

Jacob er blevet træt og har en sandsynlighed p_j= 1/2.

Find nu Anders' sandsynlighed p_a , altså hans dygtighed, for at han vinder alle 15 kampe. 

Du kan vel ikke tage et foto af opgaven og lægge det op?

Jeg har skrevet et program, som virker fint.

Hvis du har spørgsmål til min kode, er du velkommen. 

# A står for Anders og J står for Jacob
# Jeg konstruerer en funktion, der simulerer
# processen ved at generere binomialfordelingerne for dem.
sim=function(AFirst=T,pA,pJ){
    scoreA=0
    scoreJ=0
    nextPlayer='Anders'
    if(AFirst==F){
    nextPlayer='Jacob'
    }
    while(scoreA < 10 & scoreJ < 10 ){
    if(nextPlayer=='Anders')    {
    r=rbinom(1,1,pA)
    if(r==1){
        scoreA=scoreA+1
        }
        else{nextPlayer='Jacob'}
    }
    else{
    r=rbinom(1,1,pJ)
    if(r==1){
        scoreJ=scoreJ+1
        }
        else{nextPlayer='Anders'}
    }

        }
    return(nextPlayer)
}

# Eksempel hvor Anders og Jacob spiller 15 kampe.
# Output er vinderen af hver enkelt kamp.
pA=0.8
pJ=0.7
result=c()
for(i in 1:15){
    result=c(result,sim(AFirst=T,pA=pA,pJ=pJ))
}
result

# Anders vinder 8 kampe, mens Jacob vinder 7 kampe.

# Nu vil du så se, hvor "dygtig" Anders skal være (dvs. pA),
# når det er givet, at pJ=0.5.
# Jeg konstruerer en funktion af pA, som returnerer
# antallet af kampene, som Anders vinder. (Dette skal ligge på 15).
pJ=0.5 
result=function(j){
    pA=j
    result=c()
    for(i in 1:15){
    result=c(result,sim(AFirst=T,pA=pA,pJ=pJ))
    }
    result
    sum(result=="Anders")
}
# pA ligger i intervallet (0.86;0.87)

Da det er en stokastisk simulering, kan du prøve at 
køre programmet flere gange og derefter se på
middelværdien og variansen af pA. 

Anders vil vinde en kamp første gang Jacob ikke får bolden gyldigt over nættet.

Hvis Jacob server, vil de hver have fået bolden over n gange, mens Jacob fejler i gang nr (n+1). Sandsynligheden for at Anders vinder en kamp, når Jacob server, er da

P(Anders | Jacob serv) = ∑^∞_n=1 p_Aⁿ · p_Jⁿ ·(1 - p_J) = (1 - p_J) · ∑^∞_n=1 (p_A·p_J)ⁿ

                                      = (1 - p_J) · p_A·p_J / (1 - p_A·p_J)

Hvis Anders server, vil Anders have fået bolden over n gange, mens Jacob kun har fået bolden over (n-1) gange. Sandsynligheden for at Anders vinder en kamp, når Anders server, er da

P(Anders | Anders serv) = ∑^∞_n=1 p_Aⁿ · p_J^n-1 ·(1 - p_J) = ((1 - p_J)/p_J) · ∑^∞_n=1 (p_A·p_J)ⁿ

                                       = (1 - p_J) · p_A / (1 - p_A·p_J) .

Sandsynligheden for at Anders vinder en kamp, er da lig med summen af de to sandsynligheder beregnet ovenfor, dvs.

P(Anders vinder) = (1 - p_J²) · p_A / (1 - p_A·p_J)

Dette er blot sandsynligheden for, at Anders vinder et 'slag', men han skal vinde ti 'slag' for at vinde en kamp givet at Jacob ikke har vundet ti 'slag' i denne kamp. 

#6

Ja, det er jeg klar over, så lad os kalde det "slag" i stedet for "kamp". Sandsynligheden for at Jacob vinder et slag er så

P(Jacob vinder) = (1- p_A²) · p_J / (1 - p_A·p_J) .

For at Anders så vinder en "kamp", skal Anders have vundet 10 "slag", mens Jacob kun må have vundet 0, 1, 2, ... , eller 9 "slag", dvs.

P(Anders vinder "kamp") = [P(Anders vinder)]¹⁰ · (1 - [P(Jacob vinder)]¹⁰) / (1 - P(Jacob vinder))

Det er ikke korrekt. Prøv selv at regne efter. Tager man mit eksempel med pJ=0.7 og pA=0.8

er sandsynligheden for at Anders vinder en 'kamp' på 1.095765, som er højere end 1. 

I #5 skal sandsynligheden for at Anders vinder, når Jacob server, revideres, da summen skal udstrækkes fra n = 0 til ∞ . Vi får da i stedet

P(Anders | Jacob serv) = ∑^∞_n=0 p_Aⁿ · p_Jⁿ ·(1 - p_J) = (1 - p_J) · ∑^∞_n=0 (p_A·p_J)ⁿ

                                      = (1 - p_J) / (1 - p_A·p_J) .

De betingede sandsynligheder skal endvidere multipliceres med sandsynligheden for at hhv. Anders eller Jacob server. Disse sandsynligheder vil vi sætte til hver 1/2. Sandsynligheden for at Anders vinder et "slag" er da

P(Anders vinder) = P(Anders | Jacob serv)·(1/2) + P(Anders | Anders serv)·(1/2)

                            = (1/2) · [ (1 - p_J) / (1 - p_A·p_J) + (1 - p_J) · p_A / (1 - p_A·p_J) ]

                            = (1 - p_J) · (1 + p_A) / (2·(1 - p_A·p_J)) .

Sandsynligheden for at Jacob vinder et "slag" er så

P(Jacob vinder) = (1 - p_A) · (1 + p_J) / (2·(1 - p_A·p_J)) .

Nu er der balance i tingene, idet

        P(Anders vinder) + P(Jacob vinder) = 1 .

Bemærk, at hvis p_A = p_J , har vi

        P(Anders vinder) = P(Jacob vinder) = 1/2 .

Det er korrekt, at P(Jacob vinder slag)+P(Andersen vinder slag) = 1, men 

P(Anders vinder kamp) = 0.012 ifølge din model (for pJ=0.7 og pA=0.8). Denne sandsynlighed er ekstremt lille. Det kan ikke være sandt. 

Burde vi ikke anvende en eller to negative binomialfordelinger?

#10

Ja, du har ret, udtrykket i #7 for P(Anders vinder "kamp") er ikke korrekt. Vi skal involvere en binomialfordelt sandsynlighedsfunktion. Vi må i stedet få

        P(Anders vinder "kamp") = ∑¹⁹_n=10 f(10;n,p)

                                                = p¹⁰ · ∑¹⁹_n=10 (ⁿ₁₀) · (1-p)^n-10 ,

hvor p = P(Anders vinder)

Jeg kan umiddelbart ikke se, at det skulle være rigtig. Når jeg sætter det ind i mit program, får jeg igen en lille sandsynlighed, nemlig 0.13.

pA=0.8

pJ=0.7

pAnders= (1-pJ)*(1+pA)/(2*(1-pJ*pA))

p= pAnders^10 * sum(combn(10:19,10)*(1-pAnders)^(10:19-10))
p

0.13

Det er stadig ikke helt korrekt i #12, for vi skal jo ikke regne de tilfælde med, hvor der kommer nederlag efter de 10 slag-sejre.

#13

Din sum er nu ikke i overensstemmelse med udtrykket i #12, men se bemærkningen i #14. Udtrykket i #12 giver for store sandsynligheder; med p_A = 0,8 og p_J = 0,7 finder jeg p(Anders vinder kamp) = 1,293 , hvilket jo er for stort.

Hvorfor er summen ikke i overensstemmelse?

#16

Det burde vel være

   p= pAnders^10 * sum(combn(10:19,10)*(1-pAnders)^(0:19-10))

I forlængelse af #14:

Den sidste kamp skal falde ud til Anders. Derfor må det i stedet blive

        P(Anders vinder "kamp") = p¹⁰ + p¹⁰ · ∑¹⁹_n=11 (^n-1₉) · (1-p)^n-10 ,

hvor p = P(Anders vinder).

Med p_A = 0,8 og p_J = 0,7 får jeg så P(Anders vinder "kamp") = 0,845 .

#17 0 i stedet for 10 ? Så er der ikke i overensstemmelse.

#19

Eller måske snarere

       p= pAnders^10 * sum(combn(10:19,10)*(1-pAnders)^(10-10:19-10))