0,999...=1 - Matematik - Studieportalen.dk

Brugbart svar (2)

Svar #1
29. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Vi kan da umuligt svare dig på hvorfor din fætter siger at

0,9999... = 1

men ikke desto mindre er det korrekt hvad han siger. Og ja, man kan godt bevise det.

Brugbart svar (2)

Svar #2
29. december 2005 af sigmund (Slettet)

#1:

Hvordan kan vi bevise at 0.9999...=1 (EKSAKT lig med)? Jeg er ikke stødt på noget lignende før. Måske har det med uendelige rækker at gøre. Normalt ville jeg sige at 0.9999...~=1 (CIRKA lig med).

Brugbart svar (2)

Svar #3
29. december 2005 af Nuitarius (Slettet)

Hej

Hvis man ser på 1/3, og ganger det med 3, så ved de fleste at det giver 1, uden tvivl.
Men tast 1/3 ind på lommeregneren, og den vil sige at det er 0,3333..... (hvilket faktisk ikke er korrekt, 1/3 er mere præcist pga. decimal afrunding). Gang herefter dette med 3, så vil du logisk tænke at facit må være 0,9999.... , men lommeregneren skriver 1. Det er fordi da du tastede 1/3 ind på den, så skriver den godt nok 0,3333.... men den husker mange flere decimaler og derfor ser den det tal som 1/3 stadigvæk. Derfor når du ganger med 3 bliver det naturligt lig med 1, som det burde.

Man kan teste det på mange lommeregnere ved funktionen pi. Hvis du skriver ned nøjagtigt hvad din lommeregner påstår pi er lig med (min siger 3,1415926535897932384626433832795).

Slet alt.

Skriv det tal ind på lommeregneren.

Gang med 3.

Skriv tallet ned (min fik 9,424777960769379715387930149837).

Tryk nu pi-tasten og gang det med 3 (Nu fik den 9,4247779607693797153879301498385).

Forskellen her var 1,5086526856197145126948081700907e-30.

Det vil sige at det lommeregneren skriver er ikke altid det den rent faktisk regner med.

Brugbart svar (2)

Svar #4
29. december 2005 af Nuitarius (Slettet)

Det er i hvertfald mit gæt på hvorfor din fætter påstår hvad han påstår...

Brugbart svar (2)

Svar #5
29. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#2:
Jeg kan ikke huske det præcist, men så vidt jeg husker står der noget om det i ``Funktioner af en og flere variable'' af Ebbe Thue Poulsen. Jeg har ikke bogen ved mig lige nu, men deri mener jeg bestemt at man kan finde noget om det i et af de første kapitler.

Brugbart svar (2)

Svar #6
29. december 2005 af CziX (Slettet)

For praktisk matematik så er det nødvendig, at det er sådan. Hvis man fx. tager 3/3, så ved vi alle at det er et.

Men hvis du dividerer 3 med 1 og ganger derefter med 3, så vil du få 0.9999...

Gør man det omvendt, ved at gange med et med 3, og derfter dividerer med 3, så giver det ekstrakt 1.

Dvs. at hvis reglen om, at gange og dividere er hinandens modsat, så ville det være forkert. Og dermed gælder ingen matematiske regler.

Lidt papskåret...

Brugbart svar (2)

Svar #7
29. december 2005 af Nuitarius (Slettet)

#6

Hvis du dividere 1 med 3 så får du da 1/3, og ganger du det med 3 så får du 3/3. Som eksakt er 1. Når du siger at det giver 0,9999.... så går du ud fra at 1/3=0,3333.... hvilket jo ikke er helt sandt. Fordi når du regner det om til decimaltal så kommer uendeligheds faktoren ind. Eller er jeg helt af sporet her?? :)

Brugbart svar (2)

Svar #8
29. december 2005 af Mads123 (Slettet)

Heh kan huske jeg selv heller ikke ville forstå det i starten. Jeg kan dog huske at jeg på en hjemmeside fik en god forklaring på det.

Det skyldes måden vi har svært ved at betragte uendelig på. Et eksempel:
Du tager til USA i en uge. Du møder en mand den sidste dag, som giver dig 100 dollars. Han siger dog at næste gang i mødes skal han have 1 dollar. Teoretisk set har du 99 dollars, men da du ved du aldrig møder ham igen har du altså 100 dollars.

Brugbart svar (2)

Svar #9
29. december 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

#7 Det er netop "uendelighedens faktor", der gør at 1=0,999...

Et andet bevis er:

0,999...=
(0,999...*9)/9=
(0,999...*(10-1))/9=
(9,999...-0,999...)/9=
9/9=
1

Brugbart svar (2)

Svar #10
29. december 2005 af 404error (Slettet)

'Beviset' i #9 er en klassisk forhastet konklusion ifm. beviset for

0,999... = 1.

Hvorfor? Fordi der apriori ingen grund er til at tro, at en uhåndtérbar størrelse som 0,999... opfører sig som reelle tal i almindelighed. Intuitivt er det naturligvis oplagt, hvordan man bør bære sig ad; men kernen i problemstillingen er netop at overveje, hvad mening kan man tillægge "nul komma uendeligt mange ni-taller"? Hvad er det for en størrelse? Ud fra hvilken matematisk regel kan man eksempelvis slutte, at

0,999... / 9 = 0,111... ?

Det springende er at definere i præcise termer, hvad der forstås ved sådanne uendelige decimaludviklinger. Som #2 ganske rigtigt påpeger, har det noget med uendelige rækker at gøre - og manipulationerne i #9 at gøre med de gængse regneoperationer, som man problemfrit kan overføre til konvergente(!) sådanne rækker. Man definerer da 0,999... som grænseværdien af

sum( 9 / 10^i, i = 1..n )

for n gående mod uendelig. Grænseværdien vises ved elementær epsilon-deltagymnastik at eksistere og være lig 1.

På det mere heuristiske niveau kan man argumentere, at der ikke findes nogle reelle tal mellem 0,999... og 1. Derfor kan kun vedtægten 0,999... = 1 give mening.

Brugbart svar (2)

Svar #11
29. december 2005 af -Glenn- (Slettet)

Måden jeg fik det vist på;

x = 0,999...., så 10x = 9,999..., hvis man så trækker ligningerne fra hinanden,

10x - x = 9,999... - 0,999... dvs.

9x = 9 <=> x = 1

Brugbart svar (2)

Svar #12
30. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#11:
Problemet i dette bevis er -- som der også gøres opmærksom på i #10 --, at blot fordi

x = 0,999...

kan du ikke direkte konkludere, at

10x = 9,999...

Det afgørende i beviset er netop eksistensen og entydigheden af den i #10 beskrevne grænseværdi.

Brugbart svar (2)

Svar #13
30. december 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

#10
Jeg forstår ikke hvorfor du kalder #9 for "forhastet" og "manipulation". 0,999... er jo i følge definitionen på 10-talsystemet lig med:
9/10 + 9/100 + 9/1000...
og du skriver selv at man problemfrit kan bruge de gængse regneoperationer på sådanne rækker?

#12
Hvorfor ikk?
10*(9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...) = 9 + 9/10 + 9/100 + ...

Brugbart svar (2)

Svar #14
30. december 2005 af 404error (Slettet)

#13: Fordi man er nødt til at gøre klart, hvad der i det hele taget forstås ved

9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

og netop deri ligger hele øvelsen at indse, at 0,999... = 1. Hvad vil det sige at fortsætte en sådan sum 'ud i det uendelige'? Intuitionen siger, at svaret oplagt må være

0,999...

men denne *intuitive* konstruktion repræsenterer ikke i udgangspunktet et reelt tal. Vi må først beskrive i kendte termer, hvad størrelsen står for. Vi vedtager, at vi ved denne størrelse forstår den i #10 angivne uendelige række. Og først da kan vi regne videre - og endvidere indse, at vi blot har defineret os en ny måde at skrive tallet 1 på.

Jeg erkender dog, at mit eksempel i #10 er dårligt. Man kan sagtens gange konstanter på divergente rækker, så længe man ej udtaler sig om grænseværdien. Det springende punkt i #9 er derimod omskrivningen

(9,999... - 0,999...)/9=9/9,

hvori det benyttes, at differensen af to konvergente rækker er en konvergent række med grænseværdi givet ved differensen af grænseværdierne.

Brugbart svar (2)

Svar #15
30. december 2005 af 404error (Slettet)

I fortsættelse af #14, kan problematikken ang. 0,999... ses som en konsekvens af klassisk måde, hvorpå de reelle tal kan konstrueres - nemlig som ækvivalensklasser af Cauchyfølger af rationale tal (den metriske afslutning af Q). Rækken, som beskriver 0,999..., er da et element i ækvivalensklassen [1], Cauchyfølger af rationale tal med grænseværdi 1.

Brugbart svar (2)

Svar #16
30. december 2005 af Rasmus.p (Slettet)

Beviserne er også fremført is sci.math's faq:
http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/math-faq.pdf

se side 29-30.

Brugbart svar (2)

Svar #17
30. december 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

#14:
Det benyttes IKKE, at "differensen af to konvergente rækker er en konvergent række med grænseværdi givet ved differensen af grænseværdierne", men derimod at:

(9 + 9/10 + 9/100 + ...) – (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...) =
9 + (9/10 – 9/10) + (9/100 – 9/100) + (9/1000 – 9/1000) + ...=
9 + 0 + 0 + 0 + ... = 9

Svar #18
30. december 2005 af sprit (Slettet)

I har vel nok haft det hyggeligt. Jeg trækker mig stille og roligt tilbage.

Svar #19
30. december 2005 af sprit (Slettet)

Min gamle mat-lærer nænvte i øvrigt engang, at man altid skal have defineret tallet fuldt ud, eller noget i den stil, før man kan regne på det. 0,9... har ikke nogen ende, derfor kan man (ifølge min hukommelse + lærer - altså ret tvivlsomt!) ikke udføre beregninger med 0,9... fordi vi aldrig ved hvor det ender.
Hvis overstående ikke giver mening: Ignorér!!

Brugbart svar (1)

Svar #20
30. december 2005 af 404error (Slettet)

#17: Nuvel, med din udvidede forklaring benytter du da i stedet, at man for absolut *konvergente* rækker kan flytte rundt på parenteser, jf. f.eks.

http://mathworld.wolfram.com/AbsoluteConvergence.html

Uanset hvad er det nødvendigt at påvise konvergens af den oprindelige række. Og så er yderligere manipulationer uinteressante.